Начертательная геометрия

Основные задачи замены плоскостей проекций.

Решение всех задач методом замены плоскостей проекций сводится к решению 4-х основных задач:

Первая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы прямая общего положения стала прямой уровня.

Вторая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы прямая уровня стала проецирующей прямой.

Решим обе задачи совместно:

Решение первой задачи: Пусть задана прямая общего положения отрезком [АВ]. Заменим плоскость V на V1
(V1H)(V1[AB]) x1[A1B1]
[A1A4]x1 [B1B4]x1
B2Bx=Bx1B4 A2Ax=Ax1A4
|А4B4|=|АB| - угол наклона АВ к плоскости Н.

Решение второй задачи: Заменим плоскость Н на Н1
(Н1V1)(H1[AB]) x2[A4B4]
Ax2A5=Bx2B5=A1Ax1=B1Bx1

Рис.5

Таким преобразованием можно решать задачи об определении истинной величины отрезка и углов наклона его к плоскостям проекций.

Совместное рассмотрение первой и второй задач позволяет решать задачи об определении:

расстояния от точки до прямой

расстояния между двумя параллельными прямыми

расстояния между скрещивающимися прямыми

Третья задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей плоскостью.

Четвёртая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы проецирующая плоскость стала плоскостью уровня.

Решим обе задачи совместно:

Решение третьей задачи: Пусть задана плоскость общего положения Р(ABC)
Заменим V на V1 (V1H)(V1P) x1[A111]
- угол наклона плоскости Р к плоскости Н.

Решение четвёртой задачи: Заменим Н на Н1 (Н1V1)(Н1P) x2[C4B4]

Рис.6

С помощью такого преобразования можно решать задачи на определение: углов наклона плоскости к плоскости проекций, расстояния от точки до плоскости, расстояния между параллельными плоскостями.

Совместное решение задач 3 и 4 позволяет решать задачи на определение: натуральных величин плоских фигур, углов между пересекающимися прямыми, расстояния между параллельными прямыми, расстояния от точки до прямой.

2. Вращение вокруг прямых уровня.

Сущность способов вращения заключается в том, что заданную геометрическую фигуру путём вращения вокруг некоторой оси перемещают в пространстве до тех пор, пока она не займёт частное положение относительно плоскостей проекций.

Эффективным приёмом, упрощающим решение задач, связанных с определением метрических характеристик плоских фигур, является способ вращения этих фигур вокруг их линий уровня. Путём такого вращения можно плоскость, которой принадлежит рассматриваемая фигура, повернуть в положение, параллельное плоскости проекции.

(Сущность способа в том, что путём вращения вокруг линий уровня плоскость, в которой расположена фигура, переводится в положение, параллельное той плоскости проекций, которой параллельна прямая частного положения (линия уровня)).

При этом плоская фигура будет без искажения проецироваться на эту плоскость проекций.

При вращении вокруг горизонтали плоская фигура переводится в положение, параллельное плоскости H, при вращении вокруг фронтали в положение, параллельное плоскости V.

Рис.1

Точка A при вращательном движении перемещается по дуге (окружности), расположенной в плоскости, которая перпендикулярна оси вращения. Центр окружности будет находиться на оси вращения, а величина радиуса равна расстоянию от точки до оси вращения.

Т.к. в нашем случае ось вращения - горизонталь, то, следовательно, траектория точки А будет находиться в горизонтально-проецирующей плоскости.

SH; Sh; SHh1; [OAI]H
Точка O - центр вращения O=Sh
AAI[A1AI1]h1
На плоскость V окружность проецируется в эллипс (это построение мы не делаем).

Для того, чтобы на комплексном чертеже переместить точку A путём вращения вокруг линии уровня, нужно знать:

центр вращения,

истинную величину радиуса вращения.

Центр вращения O, как уже отмечено, находится в точке пересечения h с плоскостью S. Чтобы определить величину радиуса вращения |OA|, необходимо построить в плоскости Н прямоугольный треугольник О1А1A0. О1А0A1 ОA1 Для этого за катет принимаем горизонтальную проекцию [O1A1] отрезка OA; второй катет равен разности аппликат концов отрезка ОА |zA-zAI|=|A1|. Гипотенуза О1А1A0 это O1A0=R.

Рис.2

Новое, после поворота, положение точки AI1 находится в месте пересечения дуги окружности, проведённой из горизонтальной проекции центра вращения O1, радиусом, равным [O1A0] с горизонтальным следом SH плоскости S.

Пример: Дана плоскость P (ABC) - общего положения. Нужно вращением вокруг фронтали определить истинную величину треугольника (ABC).

Рис.3

Ход решения:

Строим фронталь в плоскости P;

Из точки B2 проводим перпендикуляр к f2;

Из точки C2 проводим перпендикуляр к f2;

R=O2BI0

На главную