Математика примеры решения задач

Основы комплексного метода расчета цепей переменного тока

Количество различных значений  для каждого из которых уравнение

имеет хотя бы один корень, равно

 1) 17; 2) 16; 3) 6; 4) 9; 5) другому числу.

Решение. Воспользуемся формулой  Тогда . Выражение левой части уравнения не может принимать значения меньше нуля, а правой части не может принимать значения больше нуля. Поэтому уравнение равносильно системе уравнений

 

Переменные n и k пробегают все множество Z независимо друг от друга и параметр а принимает любое значение, кратное  Ответ: 17.

А 17. В треугольнике АВС с углом  и сторонами АВ = 5 и  косинус угла при вершине С равен

 1) 2) ½; 3)  4) 0; 5)

Решение. По теореме синусов

  Ответ: .

А 18. На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка E, а отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Если BF : FD = 3 : 5, то прямая AE делит площадь параллелограмма ABCD в отношении

 1) 3 : 7; 2) 3 : 10; 3) 3 : 5; 4) 3 : 8; 5) 9 : 25.

Решение. Прямая, проведенная через точку С параллельно АЕ, вместе с прямой АЕ делит BD, считая от В, в отношении 3 : 2 : 3. По теореме Фалеса точка Е делит сторону ВС в отношении 3 : 2. Поэтому АЕ делит площадь параллелограмма в отношении  к . Ответ: 3:7.

А 19. Если окружность, проходящая через вершины А, В и D трапеции ABCD с основанием BC = 3 и диагональю BD = 5 касается прямых BC и CD, то основание AD равно

 1)  2) 5; 3)  4) 25/3; 5) 7.

Решение. Обоснование чертежа. По свойству касательных  Если угол С прямой, то ВD =  < 5. Противоречие. Угол С тупой и центр О окружности лежит вне трапеции. По формуле Герона площадь треугольника BCD равна  Пусть h – длина высотытреугольника BCD . Тогда  По теореме Пифагора Ответ: 25/3.

А 20. Наибольшая площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью, параллельной его скрещивающимся ребрам AB = 8 и CD = 5, образующим между собой угол в 30о, равна 

 1)  2)  3)  4) 5; 5) 5/2.

Решение. Возьмем сечение параллельное ребрам AB и CD. Пусть  Так как , то  Так как , то Сложив два равенства, получим Для площади параллелограмма, полученного в сечении, имеем

.

 Ответ: 5.

А 21. Точки А, В и С лежат соответственно на трех ребрах куба, выходящих из его вершины D, причём AD = 1, BD = 1/3 и CD = 4/3. Радиус вписанного в пирамиду ABCD шара равен

 1) 1/8; 2) 1/24; 3) 1/72; 4) 2/13; 5) 1/6.

Решение. Так как , то по формуле Герона  Пусть О – центр вписанного шара. Объем пирамиды складывается из объемов пирамид ABCO, ABDO, ACDO и BCDO. У всех четырех пирамид высота, опущенная из вершины О, равна радиусу шара r. Отсюда,

 Ответ: 1/6.