[an error occurred while processing this directive]
Машинная графика позволяет дизайнеру формировать геометрические объекты и наблюдать на экране дисплея их образы в различных ракурсах на всех этапах творческого процесса.По сравнению с живописью и архитектурой скульптура играла в раннехристианском искусстве второстепенную роль. С помощью ее средств автоматически изготавливаются объемные модели, сложные литейные формы и штампы, минуя трудоемкие шаблонные работы. Обувь и одежда могут конструироваться также средствами машинной графики, включенной в систему САПР. Чугун представляет железоуглеродистый сплав и широко применяется в машиностроении Оформление чертежей Все правила выполнения чертежей, действующие в настоящее время, отражены в государственных стандартах (ГОСТ) Единой системы конструкторской документации (ЕСКД), учитывающей многие рекомендации международных организаций по стандартизации.

Трехмерные геометрические преобразования

Далее при рассмотрении трехмерных преобразований, в основном, используется общепринятая в векторной алгебре правая система координат (рис. а). При этом, если смотреть со стороны положительной полуоси в центр координат, то поворот на +90^° (против часовой стрелки) переводит одну положительную ось в другую (направление движения расположенного вдоль оси и поворачивающегося против часовой стрелки правого винта и положительной полуоси совпадают). В некоторых, специально оговариваемых случаях, используется левая система координат (см. рис. б). В левой системе координат положительными будут повороты по часовой стрелке, если смотреть с положительного конца полуоси. В трехмерной машинной графике более удобной является левая система координат. Тогда если, например, поверхность экрана совмещена с плоскостью XY, то большим удалениям от наблюдателя соответствуют точки с большим значением Z (см. рис. б).

Работа с однородными трехмерными координатами и матрицами преобразования (формирование и композиция) подобна таковой для двумерного случая, поэтому здесь будут рассмотрены только матрицы преобразований сдвига, масштабирования и поворота и пример конструирования матрицы преобразования по известному его результату.

Подобно тому как в двумерном случае точка в однородных координатах представляется трехмерным вектором [ X Y W ], а матрицы преобразований имеют размер 3×3, для трехмерного случая точка представляется четырехмерным вектором [ X Y Z W ], где W не равно 0, а матрицы преобразований имеют размер 4×4.

Формулы для преобразования:

Если W не равно 1, то декартовые координаты точки (x,y,z) получаются из соотношения:

Параллельный перенос:

  Р` = Р∙Т;

1 0 0 0 

Где Т =

  0 1 0 0 - матрица переноса

0 0 1 0 
Tx Ty Tz 1

Масштабирование:

  Р` = Р∙S;

  Sx 0 0 0 

S =

 0 Sy 0 0 , S – матрица

  0 0 Sz  0
0 0 0 1

Поворот:

При повороте в 3-х мерном пространстве существует 3 поворота вокруг каждой из осей.

Кроме того, существует 2 системы координат: правая и левая.

Для обеих систем: Х: Y→Z Y: Z→X Z: X→Y

Ранее рассмотренная для двумерного случая матрица поворота является в то же время трехмерным поворотом вокруг оси Z. Так как при трехмерном повороте вокруг оси Z (поворот в плоскости XY) размеры вдоль оси Z неизменны, то все элементы третьей строки и третьего столбца равны 0, кроме диагонального, равного 1:

При повороте вокруг оси X (в плоскости YZ) размеры вдоль оси X не меняются, поэтому все элементы первой строки и первого столбца равны 0, за исключением диагонального, равного 1:

При повороте вокруг оси Y (в плоскости XZ) размеры вдоль оси Y не меняются, поэтому все элементы второй строки и второго столбца равны 0, за исключением диагонального, равного 1:

В общем случае любой поворот в пространстве может быть описан с помощью некоторых комбинаций этих трех поворотов. Причём повороты не обладают свойством коммутативности:

R_X ∙ R_Y ∙ R_Z ≠ R_Z ∙ R_X ∙ R_Y.

Любой произвольный поворот может быть представлен 6 сочетаниями элементарных поворотов. Причем в каждом случае будут свои углы (за исключением вырожденных ситуаций).

P` = P ∙ R, где R – матрица поворотов.

P` = [X`, Y`, Z`, 1];

P  = [X, Y, Z, 1];

Элементы R – косинусы соответствующих углов.

   a₁ a₂ a₃ 0 cos(XOX`) cos(XOY`) cos(XOZ`)  0

==

R =

   b₁ b₂  b₃ 0 cos(YOX’) cos(YOY’) cos(YOZ’)  0

  c₁ c₂  c₃ 0 cos(ZOX’) cos(ZOY’) cos(ZOZ’) 0

   0 0 0 1 0 0 0 1

Элементы матрицы R можно также рассматривать в виде векторов:

`i, `j, `k – это вектора единичной длины.

`N<sub>1 =</sub> `i ·a₁ +`j ·b<sub>1</sub> +`k·c₁ `M<sub>1 =</sub> `i ·a₁ +`j ·a<sub>2</sub> +`k·a₃
`N<sub>2 =</sub> `i ·a₂ +`j ·b<sub>2</sub> +`k·c₂ `M<sub>2 =</sub> `i ·b₁ +`j ·b<sub>2</sub> +`k·b₃
`N<sub>3 =</sub> `i ·a₃ +`j ·b<sub>3</sub> +`k·c₃ `M<sub>3 =</sub> `i ·c₁ +`j ·c<sub>2</sub> +`k·c₃

Запишем векторное произведение:

`N<sub>1</sub> ´`N₂ =`N<sub>3</sub>  `M₁ ´`M<sub>2</sub> =`M₃  

`N<sub>2</sub> ´`N₃ =`N<sub>1</sub>  `M₂ ´`M<sub>3</sub> =`M₁  

`N<sub>3</sub> ´`N₁ =`N<sub>2</sub>  `M₃ ´`M<sub>1</sub> =`M₂  

Скалярное произведение:

`N<sub>1</sub> ·`N₂ =`N<sub>1</sub> ·`N₃ =`N<sub>2</sub> ·`N₃ = 0

Композиция 3D изображений

P` = P·M; P = P`· М^–1

Поворот вокруг произвольной оси, проходящей через начало координат:

  z

j

P’

P

y

x

   (l, m, n) 

 l²+cos(j)·(1–l²) l·(1–cos(j))·m+n·sin(j) l·(1–cos(j))·n–m·sin(j) 0 

 l·(1–cos(j))·m m²+cos(j)·(1–m²) m·(1–cos(j))·n+l·sin(j) 0 

 l·(1–cos(j))·n+m·sin(j) m·(1–cos(j))·n–l·sin(j) n²+cos(j)·(1–n²) 0 

  0 0 0 1 

M – в общем случае не ортогональная матрица, т.е. М^–1≠ М^Т,

а R–ортогональная (R^–1=R^T).

В общем виде матрица преобразований имеет вид:

  m₁₁ m₁₂ m₁₃  0 

 m₂₁  m₂₂ m₂₃ 0

M = m₃₁ m₃₂ m₃₃  0

 m₄₁ m₄₂ m₄₃  1

Координаты точки вычисляются по следующим формулам:

X` = X*m₁₁+Y* m₂₁+ Z* m₃₁+ m₄₁ 

Y` = X*m₁₂+Y* m₂₂+ Z* m₃₂+ m₄₂

Z` = X*m₁₃+Y* m₂₃+ Z* m₃₃+ m₄₃

Измерения, используемые для классификации образов, называются признаками. Мастерская живописи и рисунка История искусства Конструктивный рисунок Техника рисунка обнаженной фигуры Признак – это некоторое количественное измерение объекта произвольной природы. Совокупность признаков, относящихся к одному образу, называется вектором признаков. Вектора признаков принимают значения в пространстве признаков. В рамках задачи распознавания считается, что каждому образу ставится в соответствие единственное значение вектора признаков и наоборот: каждому значению вектора признаков соответствует единственный образ. Текстовые надписи на чертежах Часто чертеж детали содержит ряд технических указаний, характеризующих свойства и особености детали в окончательном виде. Аксонометрические проекции При выполнении технических чертежей в ряде случаев оказывается необходимо наряду с изображением предметов в прямоугольных проекциях иметь и наглядные их изображения. Это необходимо для обеспечения возможности более полно выявить конструктивные решения, заложенные в изображении предмета, правильно представить положение его в пространстве, оценить пропорции его частей и размеры.
[an error occurred while processing this directive]