Математика примеры решения задач

Решите неравенство .

Решение. Область допустимых значений переменной неравенства

Попытка избавиться от иррациональностей приводит к большой цепочке выкладок и уравнению четвертой степени. Структура выражения слева подсказывает, что необходимо воспользоваться методом оценок.

.

Следовательно, неравенство выполняется для всех значений х из ОДЗ.  Ответ:

 

7. Найдите сумму корней уравнения .

Решение.

.

Так как основания степеней положительны, то

;

,

,

Из основного логарифмического тождества ,  следует, что

;

Корни найдены из условий , поэтому удовлетворяют уравнению; -2 + 3 = 1. Ответ: 1.

Замечание. Уравнения вида  надо научиться решать с помощью теоремы Виета, точнее с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Это также даст выигрыш во времени по сравнению с вычислением дискриминанта и корней по известным формулам.

Решите неравенство .

Решение. Область допустимых значений переменной х

Так как , то . Отсюда,

  и ;

   и . Ответ:

Замечание. При решении неравенств вида  выиграть время можно воспользовавшись тем, что неравенство  при   равносильно цепочке неравенств . Полезно знать следующие факты:

Неравенство  при  равносильно системе неравенств  или .

Неравенство  при  равносильно системе неравенств  или .

Неравенство  при  равносильно цепочке неравенств .

9. Найдите наибольший корень уравнения  на .

Решение.

,

,

Из этих чисел заданному интервалу принадлежат  Последнее число отбросим, так как . Подставим в уравнение число .

.

0 = 0.

Получили верное равенство. Это число – наибольший корень в интервале .

 Ответ: .

10. Уравнение  имеет ровно один корень, если а = ?

Решение.

или

.

В первом случае  Во втором случае  Уравнение имеет два корня 2 и 2а, если , причем корни совпадают, если а =1. Уравнение имеет один корень 2, если . Ответ:  или а = 1.

11. Система  имеет ровно два решения, если а = ?

Решение. Из второго уравнения  А из первого  

.

Из условия  следует, что  и , т. е.

.

Если , то система имеет четыре решения

, , , .

Если а = 1, то система имеет два решения  Если , то решений нет.

Ответ: 1.

Замечание. На самом деле для решения этой задачи следовало прибегнуть к геометрическим соображениям. Так как , то график первой зависимости симметричен относительно осей координат и может быть получен симметричным отображением своей части, расположенной в первой четверти. В первой четверти график зависимости совпадает с прямой у = х – 1. Графиком второй зависимости при  является окружность радиуса . Если , то графики не имеют общих точек. Если а = 1, то графики имеют ровно две общих точек (-1; 0) и (1; 0). Если , то графики имеют четыре общих точки.