Математика примеры решения задач

Два противоположных ребра правильного тетраэдра служат диаметрами оснований цилиндра объема . Тогда ребро тетраэдра равно?

Решение. Пусть а – длина ребра. Тогда  - радиус основания цилиндра. Высота цилиндра равна расстоянию между двумя противоположными ребрами тетраэдра . Это расстояние вычисляется как высота равнобедренного треугольника с боковыми сторонами  и основанием а. Тогда

 Ответ: 8.

21. Сечение прямой треугольной призмы проходит через середины ребер АА1 и А1С1 параллельно высоте АН. Треугольник АВС прямоугольный, АВ = АС = А1А =. Найдите площадь сечения.

Решение. Пусть M и N – середины АА1 и А1С1, L – точка пересечения MN с СС1, P – точка пересечения MN с АС, K – точка пересечения с прямой В1С1 прямой, проведенной через точку N параллельно высоте А1Н1 треугольника А1В1С1, D – точка пересечения прямой LK с BC, Е – точка пересечения с АВ прямой, проведенной через D параллельно KN. Площадь сечения получим, вычитая из площади трапеции DKNP площадь треугольника EMP.

Ответ: 

22. Найдите число натуральных корней уравнения .

Решение. .

Дискриминант квадратного трехчлена  равен 25 – 32 = -7 меньше нуля, поэтому трехчлен принимает только положительные значения и . Если  то  и уравнение перепишется в виде

,

2х = 18,

х = 9.

Корней уравнения  нет. Если , то  и

,

0 = 0.

Все такие значения х – корни уравнения. Натуральные корни – это числа 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 м 9. Ответ: 6.

23. Найдите площадь фигуры

Решение. Заменим х -4 на х, а у -1 на у. Перенос осей не изменит площадь фигуры. Тогда система примет вид

Фигура состоит из двух треугольников, симметричных относительно оси абсцисс, высоты 2 с основанием 12.

.

Ответ: 24.

24. Найдите число целых значений аргумента функции , принадлежащих области определения этой функции.

Решение.

Области определения функции принадлежит только одно целое число 7.  Ответ: 1.