ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ

 
  • СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ
  • СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ
  • КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ
  • ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ В этой главе рассказывается о простейших геометрических фигурах и их элементах — вершинах, сторонах и углах. Вы вспомните, как пользоваться линейкой и циркулем, рассмотрите важное понятие равенства геометрических фигур. В заключение вы познакомитесь с правильными многогранниками и узнаете, чем отличается сфера от шара.
  • МНОГОУГОЛЬНИКИ Снова рассмотрим геометрические фигуры, которые строятся с помощью линейки.
  • Задача 4 Исходные данные: математическое ожидание и стандартное отклонение нормально распределенного признака Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, чтов результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12, 14).
  • Типовые расчеты (курсовые задания) по математике Градиент Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке
  • ОТРЕЗОК, ЛОМАНАЯ В этой главе мы напомним об отрезках и их измерении. Вы узнаете, как свойства длины позволяют различать точки, лежащие на отрезке и не лежащие на нем, как «неравенство треугольника» позволяет находить кратчайшие пути. Вы вспомните о ломаных и их длинах, узнаете о некоторых особенностях ломаных.
  • ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЛИНЫ Пусть отрезок АВ составлен из двух частей АС и СВ, как на рисунке 1. Тогда длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ.
  • РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
  • НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА. ЛОМАНАЯ Всякий треугольник можно представить как фигуру, составленную из трех точек и соединяющих их отрезков. Но фигура, составленная из трех точек и соединяющих их отрезков, не является треугольником, когда все три точки оказываются лежащими на одном отрезке. Отрезок с выделенной между его концами точкой треугольником не считается.
  • Ломаная может быть задана последовательным перечислением вершин. Приведем примеры.

ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ

Рассмотрим дроби, числители которых равны 1. Их иногда называют простейшими дробями. Это i, i, 1, ^ и вообще все дроби вида

Простейшие дроби нетрудно изображать на числовой прямой.

Дробь i естественно изобразить в сере-    И

дине отрезка между 0 и 1, как на рисунке 1.

 

Для представления дроби ^ нужно отрезок от 0 до 1 разделить на три равных части. Ближайшую к 0 точку деления будем считать изображением дроби 1, как на рисунке 2.

Точно так же изображаются дроби

5> g и так далее (рисунок 3).

Вопрос. Как изобразить на числовой прямой дробь если отрезок числовой прямой между изображениями чисел 0 и 1 имеет длину 64 мм?

2.2. Разделим отрезок от 0 до 1 на три равные части и отрезок от 1 до 2 также на и    три равные части, как на рисунке 4. По-

^ 2    скольку отрезок от 0 до 1 равен отрезку

I * * | , t | | ^ от 1 до 2, то отрезок от 0 до 2 окажется

1

Будем считать, что

0 12 3 разделенным на 6 равных частей. Получается, что третья часть отрезка от 0 до 2

это две части по ^ единичного отрезка.

1 + 1 = 2 И 1-2 = 2.

3 3 3 3 3

Точно так же третья часть от числа 3

Е

— это три части по ^ единицы. Поэтому, как показано на рисунке 5,

И!    ^    1 + 1 + 1 = 5,1.3=Л;

—-1-h»    3 3 3 3 3 3

0123    I + I + I + I^i 1.4 = 4

3 3 3 3 3’ 3 3 и так далее.

Вопрос. Как вы представляете расстояние в ~ км?

2.3. В предыдущем пункте мы выяснили, как из простейших дробей составлять дроби со знаменателем 3. Похожие рассуждения можно провести для дробей с си    любым знаменателем.

—I—t + ¦>—(—у—*—|—> Рассмотрим дроби со знаменателем 7.

0 | j    1    Для этого разделим отрезок от 0 до 1 на

7 равных частей, как на рисунке 6. Дробь

1    соответствует части, полученной при делении 1 на 7.

Разделим теперь отрезок от 0 до 1 на 7 равных частей, отрезок от 1 до 2 на 7 равных частей и так далее. Как и в предыдущем пункте, получим, что седьмая часть отрезка от 0 до 2 составлена из двух равных отрезков но i части отрезка от 0 до

1. Таким образом, седьмая часть от числа

2    состоит из двух частей по i.

Точно так же седьмая часть от числа 3 состоит из трех частей по седьмая часть

от 4 — из четырех частей по у и так далее.

Поэтому естественно считать, что

112 1 Л 2

- + - = -*2 = -;

7 7 7 7 7

1113 1 0 3

—I---Ь — — ~ * 3 — —.

7 7 7 7 7 7

Сформулируем правило, основанное на сделанных наблюдениях.    f -Ь f И-----Ь f =

1 1 1

1    Pub

Произведение дроби ^ на натуральное    а слагаемых

число а равно дроби    1. а = ?

Это правило является определением операции умножения простейшей дроби на натуральное число.

Из определения следует, что сумма a дробей вида ^ равна произведению дроби

^ на число а и равна В частности,

сумма Ь дробей вида j равна 1.

Вопрос. Как бы вы определили значение выражения j-- -f ^-?

2.4.    Рассмотрим две дроби у и у. По правилу сложения дробей

2 11 4 1111

~ — ~ + — и — — — -f — -f — . 777 77777

Поэтому

7 + 7 = (7 + 7) + (? + 7 + 7 + 7) =

= (2 + 4) = 6 7 7*

Для других дробей с одинаковыми знаменателями будет справедливо такое же правило:

7П ( п _ (тп + п)

~ь + ь~ ь '

Вопрос. Чему равна сумма ^

¦ ¦

2.5.    Операция сложения дробей с одинаковыми знаменателями и операция умножения дроби на натуральное число очень похожи на операцию сложения натуральных чисел и операцию умножения натурального числа на натуральное число.

В случае натуральных чисел на числовой прямой берем единичный отрезок. При помощи этого отрезка находим отрезок длины га + п как результат откладывания единичного отрезка тп 4- п раз.

Результат сложения п одинаковых натуральных чисел, равных га, называем умножением га на гг и обозначаем через тп • п.

При сложении дробей ^ и ^ вместо единичного отрезка берем отрезок а за-

тем производим точно такое же построение суммы    как и при сложении натуральных чисел шип.

Эту же сумму можно получить, откладывая последовательно на числовой прямой в положительном направлении снача-

777

ла отрезок длины а затем от конца этого отрезка в том же направлении — отрезок Таким образом,

Сложение п одинаковых дробей вида ™ называем операцией умножения дроби

у на натуральное число п и обозначаем

через

Если считать отрезок длины ^ единицей длины, то операция сложения и операция умножения на натуральное число дробей со знаменателем b похожи на действия с натуральными числами на числовой прямой.

Вопрос. Как вы понимаете запись вида где га и Ъ — натуральные числа?

Контрольные вопросы

1.    Как определяется простейшая дробь?

2.    Как определяется сумма простейших дробей с одинаковыми знаменателями?

3.    Как определяется произведение простейшей дроби на натуральное число?

4. Какие примеры сложения дробей с одинаковыми знаменателями вам известны?

5? Как складываются дроби с одинаковыми знаменателями?

$ $

6. В чем сходство сложения дробей с одинаковыми знаменателями и сложения целых чисел на числовой прямой?

Задачи и упражнения

1.    Среди дробей |;    ^ найдите равные.

2.    Составьте несколько дробей из чисел 1, 3, 7, 9, 12.

3.    Запишите число 2 в виде суммы дробей со знаменателем 5. Укажите несколько вариантов ответов.

4.    Четыре рыбака поймали 5 кг рыбы и весь улов разделили поровну. Сколько рыбы досталось каждому рыбаку?

5.    Укажите наибольшую и наименьшую

из дробей* — — — — — из дрооеи. 13, 13, 13, 13, 13.

6. Увеличьте ^ в g ^ в 4 раза, к

в 17 раз, g в 2 раза.

7? Во сколько раз нужно увеличить

о    о

дробь чтобы получить дробь jjr?

еГ I

б) Д;

в)

8. Напишите дроби, которые в 2 раза меньше дробей: 4. &\ 4 . .2. Т)Щ. д). L

51’

9. Один рабочий выполнил ^ всей работы, а другой — в шесть раз больше. Какую часть всей работы выполнил второй рабочий?

10. Как изменятся дроби    если их числитель заменить

единицей?

2_. 5. _2_. _6_

11. Во сколько раз изменятся дроби у, ^3, 3^ натель заменить единицей?

, если их знаме-

12. Сложите дроби:

б>§+ь

в) S+1. ’ 6 + 6’

Г>9 + 9;

е) ^ + ^3

> 30 + 30‘

13. Сложите дроби:

а) 9 + 9;

*>(»+S)+fc

Л\ IQ + (11 . Г ’ 23 + V23 + 23.

14. Ученик решал задачи по математике ^ часа, а по физике — ^ ча-

0    о

са. Сколько минут ученик затратил на решение задач по математике и физике вместе?

 

ОСНОВНОЕ свойство ДРОБИ

3.1. Дроби, записанные по-разному, могут изображаться одной точкой на числовой прямой.

Приведем примеры для дробей со знаменателем 6.

1 6 1 12 14 15 6 6 6 6 6 6 И ----------и-1-1-1-1 !'¦¦¦>

Дробь | совпадает с дроби

| совпадают с 1; дробь | совпадает с

дробь ^ совпадает с Имеется простое правило, по которому можно определять равенство дробей. Оно известно как основное свойство дроби.

Для любого натурального числа тп дроби

Ъ и Тгт Равны и изображаются одной точкой на числовой прямой.

Поясним это свойство следующим образом. Для изображения дроби у нужно

взять отрезок длиной у и отложить его вправо от нуля 5 раз.

Для изображения дроби ^ надо взять

отрезок длиной ^ и отложить его вправо от нуля 20 раз.

Каждые 4 отрезка длиной ^ дают отрезок длиной у. Число 20 равняется сумме 4 + 4 + 4 + 44-4, поэтому при откладывании 20 отрезков длиной ^ попадем

в точку, изображающую дробь

Вопрос. Как можно поделить поровну 30 яблок на 20 человек?

3.2? Возьмем два таких натуральных числа а и 6, что а делится на b без остатка и ^ = га. В этом случае a = Ьт.

Рассмотрим дроби —,    и так

далее. По основному свойству дроби все выписанные значения изображаются одной точкой на числовой прямой, соответствующей натуральному числу га. Одна из этих дробей совпадает с j. Так как

a = Ьт, то дробь ^ совпадает с Поэтому значение дроби | равно натуральному

числу га. Итак, справедливо правило:

всякое натуральное число можно записать в виде дроби.

Вопрос. Верно ли, что есть дроби, которые нельзя записать в виде натурального числа?

3.3. При записи натуральных чисел в десятичной системе счисления каждое число имеет единственную запись и каждая запись соответствует единственному натуральному числу. Когда мы строим числовую прямую, то, выбрав начало отсчета, направление и единичный отрезок, мы однозначно находим точки на прямой, соответствующие натуральным числам.

Из основного свойства дроби получаем, что одной и той же точке на числовой прямой соответствуют дроби вида р а • 3 а,-4 a • 100 а • 101    л Т|ГР

Контрольные вопросы

1.    В чем состоит основное свойство частного?

2.    В чем состоит основное свойство дроби?

3.    Какие дроби соответствуют натуральным числам?

4.    Какие дроби называются равными?

5.    Какие дроби соответствуют точке ^ на числовой прямой?

6? Как записать в виде дроби произвольное натуральное число?

Сколькими способами это можно сделать?

Задачи и упражнения

1.    Напишите несколько дробей разного вида, каждая из которых равна i.

2.    Напишите несколько равных дробей с разными знаменателями.

3. Какая часть суток прошла, если сейчас: а) 8 часов утра; б) 14 часов дня?

На участке в 800 м2 дом и хозяйственные постройки занимают 80 м2. Какую часть участка занимают дом и хозяйственные постройки?

4.

Пешеход идет со скоростью 4 км/ч, а велосипедист едет на велосипеде со скоростью 12 км/ч. Во сколько раз скорость езды велосипедиста больше скорости пешехода?

5.

У Пети рост 160 см, а у Васи — 150 см. Во сколько раз рост Пети больше, чем рост Васи?

Как изменится дробь, если числитель увеличить в 2 раза, а знаменатель не изменять?

7.

Как изменится дробь, если числитель увеличить в 4 раза, а знаменатель увеличить в 2 раза?

8.

9. Как изменится дробь, если числитель и знаменатель увеличить в 6 раз?

10.    В следующих равенствах вместо х поставьте такое число, чтобы новая дробь была равна данной:

2_х. х_±. 5 _ 30. 15_х. 81 _ х. 125-5 3“6’ 5 — 10’ .т“36’ 25 51 27 З1 х 3‘

19 210 24 9

11.    В каких парах дроби равны: 2 и 3’ 5 й 4 ’ 3 И f И

±. 2 и 10. 0 и 0. 1 й _6_. 5 и 4?

14’ 7 35’ 3 2’ 2 12’ 9 8‘

12. В каких парах дроби равны: ^ и    и    и

6-6. 8-7 м 5. Ь?б м 4±_3?

2 ’ 1 5’ 5 8-3*