Математика примеры решения задач

Два основных метода интегрирования http://rfstud.ru/

Действия с комплексными числами.

 Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

 1) Сложение и вычитание.

 2) Умножение.

В тригонометрической форме:

,

С случае комплексно – сопряженных чисел:

 3) Деление.

В тригонометрической форме:

 4) Возведение в степень.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

 

,

где n – целое положительное число.

 Это выражение называется формулой Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

 Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

Пример. Найти формулы sin2j и cos2j.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

 5) Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

 Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Показательная форма комплексного числа.

Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

 Данное равенство называется уравнением Эйлера. Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее.

 Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3)  где m – целое число.

 Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

 Для комплексно – сопряженного числа получаем:

 Из этих двух уравнений получаем:

 Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

 Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

 

 Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Разложение многочлена на множители.

 Определение. Функция вида f(x) называется целой рациональной функцией от х.

 Теорема Безу. (Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский математик)

 При делении многочлена f(x) на разность ( x – a) получается остаток, равный f(a).

 Доказательство. При делении многочлена f(x) на разность ( x – a) частным будет многочлен f1(x) степени на единицу меньшей, чем f(x), а остатком – постоянное число R.

 Переходя к пределу при х ® a, получаем f(a) = R.

 Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f(a) = 0, то многочлен f(x) делится на (х – а) без остатка.

 Определение. Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n. 

 Теорема. (Основная теорема алгебры) Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.

 Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту при xn.

 Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид:

ki - кратность соответствующего корня.

 Отсюда следует, что любой многочлен n – ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).

 Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций.