СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ

Типовой расчет по математике
Решение задач контрольной работы
Математика
Черчение
Архитектурно-строительные чертежи
Начертательная геометрия
Инженерная графика
Начертательная геометрия
История развития черчения
Геометрические построения
Проекционное изображение
Виды, сечения и разрезы на чертежах
Машиностроительные чертежи
Эскизы деталей
Сборочные чертежи
Строительные чертежи
Архитектурные чертежи
Чертежи строительных конструкций
Инженерные чертежи
Чертежи строительных генеральных планов
Графическое оформление чертежей
Составление рабочего чертежа детали
Туризм
Развитие туризма
Диснейленд
Софийский собор в Киеве
Исторические памятники и музеи Чехии
Архитектура санаторных зданий и сооружений
Организация туристических комплексов
пансионат «Дружба» в районе Ялты
гостиница «Интурист» в Ростове-на-Дону
достопримечательности стран Европы
Андреевская церковь
История искусства, дизайн
Курс лекций по истории искусства
Изобразительное искусство блокадного Ленинграда
История государства Российского
Ландшафтный дизайн
Как обустроить свой дом, сад
Архитектурные стили XVIII века
Архитектура
Французский стиль в русской архитектуре
Билеты по истории искусства
ИСТОРИЯ АРХИТЕКТУРЫ ЯПОНСКОГО ЖИЛИЩА
Архитектура России и Европы
Ландшафтный дизайн
Русский авангард
Примеры решения задач по электротехнике,
физике
Контрольная по физике
Электротехника
Магнитная индукция
Волновая оптика
Расчет выпрямителей
Расчет электротехнических устройств
Контрольная работа Электрические машины
Методические указания по выполнению контрольной работы
Практика по физике
Молекулярно-кинетическая теория
Электродинамика
Практическое занятие по физике
Лекции и конспекты по физике
Техническая механика
Физика Механические колебания
Атомная физика
Ядерные реакторы
Энергетика
Лабораторные работы по общему курсу физики
Энергетика
Ядерные реакторы
Термоядерный синтез
Энергетика
 
СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ

4.1. Для сравнения дробей обратимся к их представлению на числовой прямой.

Мы уже знаем, что если две дроби равны, то они изображаются одной точкой на числовой прямой.

Пусть дроби ^ и g изображаются разными точками и дробь ^ изображена

правее дроби |, как на рисунке 1, то есть    И

дальше от нуля в сторону стрелки. Тогда —|-> - — ». >

считают, что дробь ^ больше дроби и    0 f §

записывают это в виде: ^

В данном случае также говорят, что дробь ^ меньше дроби и обозначают это

записью ^

Пример 1. Изобразим на одном чер-теже дроби g и g. Соответствующие точки получатся, если отрезки едипичпой

длины разделить на 6 частей.    Э

Из рисунка 2 становится ясным, что - , t , , t ( ^

Z > 5    0    i j 7

6 > 6‘ 6 6

Пример 2. Для изображения дробей

| и | разделим единичный отрезок на 20

равных частей. По основному свойству

дроби

3 3-5 15 4 4 • 4 _ 16 4“ 4-5“ 20’ 5 ~5-4 “ 20'

®    4 16    ^Т° позволяет отметить соответствующие

5 Т 20    точки, как на рисунке 3, и сделать вывод,

" "¦    3^4

Ими.........11 м 11->

Вопрос. Почему g<M?

4.2. Дроби с одинаковыми знаменателями легко сравнивать.

Ясно, что если числители двух таких дробей равны, то и сами дроби равны, так как они будут совершенно одинаковы.

Из двух различных дробей с одинаковыми знаменателями дробь, у которой числитель больше, будет расположена правее на числовой оси.

Например, дробь | расположена пра-

9    I о

вее точно так же дробь ^ расположена правее Поэтому принимаем, что:

из двух различных дробей с одинаковыми

знаменателями больше та дробь, у которой больше числитель.

Вопрос. Что больше,

2981 + 1842 кггм 3667 4-11489 5347 или 5347

4.3* Изобразить дроби Щу и уууу на части числовой прямой, нарисованной в тетради, вряд ли возможно. Но допустим, что кто-то взялся их изображать. Тогда ему нужно отрезок от 0 до 1 разделить на 1111 равных частей. Для изобра-

жения дроби уууу надо маленький отрезок в yiy единицы отложить вправо от нуля 5312 раз. Для изображения дроби yyyj- такой же отрезок в    единицы

нужно отложить вправо от нуля большее число раз — 5341.

Получившаяся во втором случае точка стоит правее точки, изображающей пер-вую дробь. Поэтому < щу.

907

Вопрос. Что больше, y-QQOO см или -213- мм?

1000

4.4** Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями очень похоже на сравнение натуральных чисел.

В случае натуральных чисел определяем положительное направление на числовой прямой, берем единичный отрезок и производим построение натуральных чисел m и п.

Если точка т находится правее точки п при положительном направлении вправо на числовой прямой, то полагаем, что т больше п и записываем это в виде т > п или п < т.

При сравнении дробей ™ и ^ берем отрезок ^ и для натуральных чисел га, п производим построение на числовой прямой дробей у и т

Если точка ^ находится правее точки

^ при положительном направлении вправо на числовой прямой, то полагаем, что у больше и записываем это в виде

Вопрос. Как объяснить, что при сравнении дробей со знаменателем, равным 1, вы сравниваете натуральные числа?

4.5. Основное свойство дроби позволяет любые две дроби записать в виде дробей с одинаковыми знаменателями.

О 11

Пример 3. Рассмотрим дроби | и у-. Тогда

Возьмем теперь произвольные дроби | и Справедливы равенства

ad

M'

a ¦ d

Vd

с ¦ b

H>

cb

bd'

с

d

a

Ъ

cb bd

Дроби gf

имеют один и тот же

знаменатель bd.

к общему знаменателю?

100

Домножение числителей и знаменателей дробей с целью получения одинаковых знаменателей называется приведением дробей к общему знаменателю.

Вопрос. Как привести дроби ^ и

4.6. Приведение дробей к общему знаменателю позволяет получить правило сравнения любых дробей.

Пусть Ъ = Ш'Я = ?ь- Тогда:

а) при ad < cb дробь ^ расположена на

cb

числовой оси левее щ и, следовательно,

с.

б)    при ad = cb дроби и задают одну и ту же точку на числовой прямой

и, следовательно, ^ и ^ равны;

в)    при ad > cb дробь ^ расположена на

c/i

числовой оси правее ^ и, следовательно,

| больше дроби д.

Вопрос. Что больше,

1    100 о

или

1000000'

1000

4.7. Понятия «больше» и «меньше», введенные для дробей, позволяют сравнить по величине две любые дроби.

Пусть натуральное число га больше натурального числа п. Тогда по правилу сравнения дробей пр

у > у. Наоборот, если

rrik к р

р, fc, то тк • р > пр • к и, следовательно, т > п.

При сравнении дробей выполняется основное свойство сравнений:

если из трех дробей первая дробь меньше второй, а вторая меньше третьей, то первая дробь меньше третьей.

для натуральных чисел га, гг,

Вопрос. Как пояснить, почему основное свойство сравнений выполняется для дробных чисел?

Контрольные вопросы

1.    Как сравнивают дроби по их изображениям на числовой прямой?

2.    Как сравнивают дроби с одинаковыми знаменателями?

3.    В чем состоит осповнос свойство дроби?

4.    Что называется приведением дробей к общему знаменателю?

5.    Каково правило сравнения дробей по их записи?

6.    Какое основное свойство сравнений выполняется для дробных чисел?

Задачи и упражнения

1.    Сравните дроби: § и 15 „ Ж 2 и Ж

2.    Сравните дроби: | и Ш | и g; | и §.

1 1 О

3.    Приведите к общему знаменателю и сравните дроби: 2 и 6’ 8

и 3. 2 _ _5_. 3 _ 7_. _1_ _ _2_. 1_ и 1. И и 131 4’ 9 36’ 7 35’ 15 451 16 2’ 14 140*

4.    Какая из дробей g, Щ, | наибольшая и какал наименьшая?

5.    Какая из дробей у|г, ^ наибольшая и какая наименьшая?

у о о

6.    Расположите дроби: —г, ^ в порядке возрастания.

7.    Расположите дроби:    | в порядке убывания.

8. Один пешеход может пройти расстояние от города до села за 6 часов, второй — за 8 часов. Какую часть расстояния пройдет первый за 5 часов? Какую часть расстояния пройдет второй за 6 часов? Сравните эти расстояния?

о с 11 о

9. Расположите в порядке возрастания дроби:    |.

10.    Расположите в порядке убывания дроби:    2. 2Q

11.    Через одну трубу за 3 часа наполняется | бассейна, а через другую за 5 часов наполняется 1 бассейна. Через какую трубу за 1 час вливается больше воды?

12.    Два косца косили траву на лугу. Один из них за 4 часа скосил

О    Q

луга. Второй за 3 часа скосил ^ луга. Какой из косцов за 1 час скосил больше?

13.    Вася пробежал 100 метров за 18 секунд, а Петя 60 метров за 12 секунд. Кто из них бегает быстрее, если считать, что скорости каждого постоянны?

14.    Литр воды весит 1 кг, а литр бензина ^ кг. Что ве