СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ

Система линейных алгебраических уравнений

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ

Представление дроби в виде суммы а простейших дробей, равных р позволяет определить сумму дробей с равными знаменателями.

Возьмем, например, дроби yj- и Тогда

А - JL _L _L _L li ~ ii+ li+ и + и5 А _ J_ JL J_ .1 JL

11 ~ и +11 +11 +11 + 11'

Поэтому за сумму ^ ^ естественно

@®fi©

о-

18 4-15 = 33 = 11 11 3-11 _ 3 _0 11 1

1

принять сумму девяти дробей по yj ка-

о _    4

ждая, то есть Так и полагаем:

+Д =    К похожим выводам приво

дят и другие примеры сумм дробей с равными знаменателями.

Для дробей с одинаковыми знаменателями выполняется правило:

a . с _ a -+ с Ь Ь~ Ъ '

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями определяется по такому правилу:

Пример 1.

18 15 11 11

a _ с Ь Ь

а — с

23 — 6 _ 17

Пример 2.

23__6_

34 34

34 17 1

34

_ 1 ' 2

17-2

Вопрос. Как на числовой прямой изобразить сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями?

5.2. Возможность приведения дробей к общему знаменателю позволяет определить сумму любых дробей. Возьмем дроби

Iи % Тогда Ъ = шкд = ш- Получи-

лись дроби с равными знаменателями, а

их сумма уже определена выше. Поэтому

a . с _ ad . cb _ ad -f- be b d~ bd bd~ bd ' Приходим к правилу сложения любых дробей:

ad + be bd ’

a . с b d

Похожие рассуждения приводят и к правилу вычитания дробей:

a _ с ad — be b

с

d

bd

Пример 3.

5-8 + 4-140 + 4

4-8 . И ' 8 '

4 8

4-8 44 = 4-11 4-8 4-8

Как на числовой прямой

Пример 4.

6    1J'3

7

7-3

о о

изобразить разность g

5.3. При а = 0 и натуральном b выражение 2 считают равным нулю. В данном

случае для любой дроби ^ имеем

Ь Ь Ъ Ь Поэтому число 0 для дробных чисел играет такую же роль как и для натуральных чисел:

a_l_0 = --h- = a ®

1-7 18-7

И

21

3

Вопрос.

21

a

Вопрос. Чему равно значение выражения ^

5.4?* Введенные операции сложения и вычитания дробных чисел удовлетворяют тем же основным законам, какие выполняются для натуральпых чисел. Напомним их, обозначая каждую дробь для краткости одной буквой:

1. р + q = q + р — коммутативность;

2- {Р + Q) + т = Р + (я + г) — ассоциативность;

3. р 4- 0 = р — свойство нуля;

4- {р — q) + q = Р — свойство разности.

Вопрос. Как объяснить, что для дробей выполняется равенство (p + q) — р = ??

Контрольные вопросы

1.    Как определяется сумма равных простейших дробей?

2.    Как определяется сумма дробей с равными знаменателями?

3.    Как определяется разность дробей с равными знаменателями?

4.    Как находить сумму любых двух дробей?

5.    Как находить разность двух произвольных дробей?

6.    В чем состоит переместительный закон сложения?

7.    В чем состоит сочетательный закон сложения?

8.    В чем заключается свойство нуля при сложении дробей?

9?* Что означают слова «коммутативность сложения дробей»?

10?* Что означают слова «ассоциативность сложения дробей»?

11?* В чем заключается свойство разности при вычитании дробей?

Задачи и упражнения

1.

Найдите суммы:

а) 5 + 5;

б)

1 + 1.

5 6’

в)

1 + 2. 3 + 5’

г) 1 + 3.

' 8 + 7’

е)

1 + 1.

4 2’

ж)

1 + 1. 6^3’

з) 1 + 5-; 2 6’

“) 1+1;

к)

17 , 7. 3 + 6’

л)

1 + 1. 4 6’

м) g + ^;

н) | +1;

о)

27 , 17 8 + 12’

п)

7 , 10 21 + 15'

р) 26 + 19 Р' 35 + 7

2.

Сложите:

а) 5 + 3 +

2.

5’

б) 2 + 1 + 2-> 3 + 7 + 4’

в)

3 + 2 + 1. 7 5 2’

Г>Ы +

2.

9’

д) 12

+ a + i.

+ 5 + 7’

е)

Х +J. + A 14 13 1Г

3.

Сложите:

a) i + 1 +

1 .

12’

б) -5-12

+ 1 + 3. 6 4’

в)

х + з + 1.

20 5 4’

г\ 6 , 13 . _5_. г' 7 + 42 + 14’

д) ^

+ ^- + + 360 +

23 . 180’

е)

х + з + 1

20 5 4 ’

4.

Сложите:

a) JL + 1 + I. ’ 20 + 5 6’

б)ш

+ 1 + 3. 4 5’

в)

- + — + — 8 10 25’

5.    Сложите:

я\ 2 , J7. 3, 9_.    38 , J_ + 4 + i-а' 3 + 12 + 10 + 20’    > 9 + 12 + 9 + 12’ 2,4, 2,3.    .л 7 , 2 , 5,3. ' 7 9 3 4’    ' 9 3 6 4’

д) - -4 - 4 - 4-    е) — + - + - + -*

д; 9 + 7 + 9 + 7’    } 11 9 + 8 + 9’ ж) 3 , 2 5 I.    3) 3^__7__|_2_|_1 ; 5 ^ 3 ^ 7 ^ 8’    j7f10 + 9 8‘

о

6.    Ученик при подготовке уроков занимался j часа математикой,

^ часа русским языком, ~ часа иностранным языком. Сколько времени ученик занимался уроками?

71

7.    Найдите число, которое больше на

оод    до

8.    В сплаве кг меди и кг олова. Какова масса сплава?

5    ?

0*7    ПП

9. Из бака вылили литра воды. После этого в баке осталось •— литра воды. Сколько воды было в баке?

о    о

10. Бригада в первый день сделала ^ всей работы, во второй ^ и

п

в третий Какую часть работы бригада сделала за 3 дня?

11? Для сплава меди, цинка и олова нужно 201 кг меди, 5 кг цинка

и некоторое количество олова. Известно, что олово составляет | общей массы сплава. Какова общая масса сплава?

01

12.    Туристы в первый день прошли ^ километра, а во второй день на два километра больше. Какое расстояние туристы прошли за 2 дня?

13.    Найдите периметр прямоугольника,

17

одна из сторон которого равна см,

а другая сторона на см больше.

14.    Два туриста идут навстречу друг другу из двух пунктов. Первый проходит расстояние между этими пунктами за 8 часов, второй

—    за 6 часов. На какую часть расстояния туристы сближаются за 1 час?

15.    Первый рабочий сделает всю работу за 12 часов, второй — за 15 часов, третий — за 10 часов, четвертый — за 9 часов. Какую часть работы сделают вместе 4 рабочих за 1 час?

16.    Бассейн наполняется через одну трубу за 6 часов, через другую

—    за 5 часов, через третью — за 3 часа. Какая часть бассейна наполнится через все три трубы за 1 час?

17.    Как изменится сумма трех слагаемых, если одно слагаемое увеличить на il, другое — на ^у, а третье — на |^?