Математика примеры решения задач

Типовой расчет по математике
Решение задач контрольной работы
Математика
Черчение
Архитектурно-строительные чертежи
Начертательная геометрия
Инженерная графика
Начертательная геометрия
История развития черчения
Геометрические построения
Проекционное изображение
Виды, сечения и разрезы на чертежах
Машиностроительные чертежи
Эскизы деталей
Сборочные чертежи
Строительные чертежи
Архитектурные чертежи
Чертежи строительных конструкций
Инженерные чертежи
Чертежи строительных генеральных планов
Графическое оформление чертежей
Составление рабочего чертежа детали
Туризм
Развитие туризма
Диснейленд
Софийский собор в Киеве
Исторические памятники и музеи Чехии
Архитектура санаторных зданий и сооружений
Организация туристических комплексов
пансионат «Дружба» в районе Ялты
гостиница «Интурист» в Ростове-на-Дону
достопримечательности стран Европы
Андреевская церковь
История искусства, дизайн
Курс лекций по истории искусства
Изобразительное искусство блокадного Ленинграда
История государства Российского
Ландшафтный дизайн
Как обустроить свой дом, сад
Архитектурные стили XVIII века
Архитектура
Французский стиль в русской архитектуре
Билеты по истории искусства
ИСТОРИЯ АРХИТЕКТУРЫ ЯПОНСКОГО ЖИЛИЩА
Архитектура России и Европы
Ландшафтный дизайн
Русский авангард
Примеры решения задач по электротехнике,
физике
Контрольная по физике
Электротехника
Магнитная индукция
Волновая оптика
Расчет выпрямителей
Расчет электротехнических устройств
Контрольная работа Электрические машины
Методические указания по выполнению контрольной работы
Практика по физике
Молекулярно-кинетическая теория
Электродинамика
Практическое занятие по физике
Лекции и конспекты по физике
Техническая механика
Физика Механические колебания
Атомная физика
Ядерные реакторы
Энергетика
Лабораторные работы по общему курсу физики
Энергетика
Ядерные реакторы
Термоядерный синтез
Энергетика
 

Примеры.

1) Выполнить умножение:

2) Вычислить: .

2. Деление.

Если z1 = r1×( cosj1 + isinj1) и z2 = r2×( cosj2 + isinj2 ), то

 

,

т.е. модуль частного двух комплексных чисел z1 и z2 равен частному модулей, а аргумент частного – разности аргументов.

Пример.

z1 =  z2 = . Найти частное.

.

Формула Муавра () находит много применений. Так, например, если n = 3, то, возведя левую часть по формуле сокращенного умножения в куб, получим равенство

.

Из равенства комплексных чисел и основного тригонометрического тождества получаем

С помощью формулы Муавра можно находить суммы тригонометрических функций.

Например, найдем сумму k Î Z.

Рассмотрим сумму .

Из формулы Муавра имеем: .

Таким образом, сумма S(x) примет вид:

.

Эта сумма есть геометрическая прогрессия из n слагаемых с первым членом  и знаменателем прогрессии . По формуле   для суммы n членов геометрической прогрессии, имеем

.

.

.

В исходном выражении для S(x) было:

,

.

Сравнивая мнимые и действительные части, получаем следующие формулы:

3. Извлечение корня из комплексного числа

Корнем n-ой степени, n Î N, n ³ 2, из числа z называется любое комплексное число u, для которого n-ая степень равна z:

.

В поле комплексных чисел справедлива следующая теорема.

Для любого z ≠ 0 извлечение корня n-ой степени, n ³ 2, из числа z всегда возможно и имеет ровно n различных значений.

Пусть z = r(cosj + isinj). Искомый корень n-ой степени обозначим

u = r(cosq + isinq).

По определению корня имеем un = z. Откуда следует, что

rn (cosnq + isinnq) = r(cosj + isinj).

Из равенства комплексных чисел получаем:

Так как .

Таким образом, модуль комплексного числа u определяется как арифметический корень из действительного положительного числа r, а аргумент находят по формуле

Общая формула Муавра

,

Пример.

Вычислить u = .

Представим число z = в тригонометрической форме:

,

Поэтому согласно общей формуле Муавра

,

где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Таким образом, значения корней:

,

,

Геометрически корни можно интерпретировать как числа, изображающие в комплексной плоскости вершины правильного n угольника (в рассмотренном примере – шестиугольника ), вписанного в окружность радиусом  (в рассмотренном примере – радиусом ), с центром в начале координат.

Примеры.

Найти: 1) , 2) , 3) .

Решение.

1) ,

u0 = cos0 + isin0 = 1,

,

,

.

2)

, k = 0, 1, 2.

 

3) , k = 0, 1, 2.