Математика примеры решения задач

Типовой расчет по математике
Решение задач контрольной работы
Математика
Черчение
Архитектурно-строительные чертежи
Начертательная геометрия
Инженерная графика
Начертательная геометрия
История развития черчения
Геометрические построения
Проекционное изображение
Виды, сечения и разрезы на чертежах
Машиностроительные чертежи
Эскизы деталей
Сборочные чертежи
Строительные чертежи
Архитектурные чертежи
Чертежи строительных конструкций
Инженерные чертежи
Чертежи строительных генеральных планов
Графическое оформление чертежей
Составление рабочего чертежа детали
Туризм
Развитие туризма
Диснейленд
Софийский собор в Киеве
Исторические памятники и музеи Чехии
Архитектура санаторных зданий и сооружений
Организация туристических комплексов
пансионат «Дружба» в районе Ялты
гостиница «Интурист» в Ростове-на-Дону
достопримечательности стран Европы
Андреевская церковь
История искусства, дизайн
Курс лекций по истории искусства
Изобразительное искусство блокадного Ленинграда
История государства Российского
Ландшафтный дизайн
Как обустроить свой дом, сад
Архитектурные стили XVIII века
Архитектура
Французский стиль в русской архитектуре
Билеты по истории искусства
ИСТОРИЯ АРХИТЕКТУРЫ ЯПОНСКОГО ЖИЛИЩА
Архитектура России и Европы
Ландшафтный дизайн
Русский авангард
Примеры решения задач по электротехнике,
физике
Контрольная по физике
Электротехника
Магнитная индукция
Волновая оптика
Расчет выпрямителей
Расчет электротехнических устройств
Контрольная работа Электрические машины
Методические указания по выполнению контрольной работы
Практика по физике
Молекулярно-кинетическая теория
Электродинамика
Практическое занятие по физике
Лекции и конспекты по физике
Техническая механика
Физика Механические колебания
Атомная физика
Ядерные реакторы
Энергетика
Лабораторные работы по общему курсу физики
Энергетика
Ядерные реакторы
Термоядерный синтез
Энергетика
 

Задача 5. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Решение. Обозначим через А–матрицу коэффициентов при неизвестных; Х–матрицу-столбец неизвестных Х1, Х2, Х3; Н – матрицу-столбец свободных членов:

А= Х=,  Н=,

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

 А·Х=Н (1)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель ∆ отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А-1, получим:

А-1·А·Х=А-1·Н.

 Но А-1·А=Е (Е – единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому

Х=А-1·Н. (2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу

А=  Тогда А-1=   , 

где Аij (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А, которое является произведением (−1)i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель ∆ и алгебраические дополнения Аij элементов матрицы А.

∆=  = 100 – следовательно матрицы А имеет обратную матрицу А-1.

А11 =(−1)i+1.  A12 =(−1)1+2.

A13 =(−1)1+3.  A21 =(−1)2+1.

A22 =(−1)2+2.  A23 =(−1)2+3.  

A31 =(−1)3+1.  A32 =(−1)3+2.

A33 =(−1)3+3.

Тогда

А-1 =

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Х=А-1·Н=·

=

=

Отсюда х1=3, х2=0, х3=−2.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

2. Назовите основные свойства определителей.

3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?

4. Напишите формулу Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

6. Что называется матрицей?

7. Как определяются основные действия над матрицами?

8. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?

10. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

11. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

12. Какова геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и неравенств?