Математика примеры решения задач

Непрерывность функций и точки разрыва

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

 Х 40 42 41 44,

 Р 0,1 0,3 0,2 0,4.

Найти: 1) математическое ожидание М (Х); 2) дисперсию D (Х); 3) среднее квадратическое отклонение σ.

Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

 Х   …  

 Р   ,

где в первой строке даны значения случайной величины Х, а во второй – вероятности этих значений , то математическое ожидание М (Х) вычисляется по формуле

.

Тогда M (X) = 40 · 0,1 + 42 · 0,3 + 41 · 0,4 = 42,4.

2) Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

.

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения X от M (X). Из последней формулы имеем 

D (X) = ( 40 – 42,4 )²∙0,1+(42 – 42,4)2∙0,3+(41 – 42,4)2∙0,2+

+(44 – 42,4)2∙0,4=2,42∙0,1+0,42∙0,3+1,420,2+1,62∙0,4=

=2,04.

Дисперсия D(X) можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(X) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания M (X), то есть

D (X) = M (X²) - [ M (X) ]².

Для вычисления M (X²) составим следующий закон распределения величины X² :

 X² 40² 42² 41² 44²

 P 0,1 0,3 0,2 0,4.

Тогда

M (X²) = 40² · 0,1 + 42² · 0,3 + 41² · 0,2 + 44² · 0,4 =

= 160 + 529,2 + 336,2 + 774,4 = 1799,8 и

D (X) = 1799,8 – 42,4² = 2,04. 

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг его среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение σ (X) случайной величины X, равное квадратному корню из дисперсии D (X), то есть

 .

Из этой формулы имеем: .

Задача 21. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

 0 при х < 0,

 F (x) = х³ при 0 ≤ х ≤1,

 1 при х > 1.

Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f (x); 2) математическое ожидание M (X); 3) дисперсию D (X) .

Решение. 1) Дифференциальная функцией распределения f(x) непрерывной случайной величины X называется производная от интегральной функции распределения F (x) , то есть

.

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

 0 при х < 0 ,

 f (x) = 3 при 0 ≤ х ≤ 1,

 0 при х > 1.

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f (x) , то ее математическое ожидание определяется формулой

.

Так как функция f (x) при x < 0 и при x >1 равна нулю, то из последней формулы имеем

.

3) Дисперсию D (X) определим по формуле

.

Тогда

.