Математика примеры решения задач

Дискретная математика http://ulpu2.ru/

СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ПО МАТЕМАТИКЕ

Вычисления без калькулятора, алгебраические преобразования.

 Для выполнения расчетов без калькулятора необходимо уметь переводить периодические дроби в обыкновенные. Удобнее всего это делать по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии , где  - первый член прогрессии;  - знаменатель прогрессии.

Рассмотрим такое задание на нескольких примерах:

Пример 1. - члены бесконечно убывающей прогрессии, где . Тогда 

.

Пример 2.  - члены бесконечно убывающей прогрессии, где . Тогда 

.

Пример 3.

. Тогда

Пример 4. ((+2,708333…):2,5):((1,3+0,7(6)+0,(36)) ´)´

Необходимо правильно и рационально выполнить цикл вычислений. Прежде всего переведем периодические дроби в обыкновенные. 

1)  

 .

2) .

3) .

4) .

Для выполнения некоторых задач необходимо понимать, что . Тогда,

Пример 5. , так как .

Для формирования квадрата суммы или разности под знаком корня необходимо представлять, что .

Пример 6. Вычислить .

, где . Необходимо подобрать a и b так, чтобы сумма их квадратов равнялась 5.

.

Значит . Тогда . Можно проверить, возводя в квадрат, что это действительно так

В результате, , так как .

Пример 7.

Вычислить .

, так как , то

.

IV. Для выполнения алгебраических преобразований необходимо знать свойства степенных выражений и модификации формул сокращенного умножения. Например:

1) .

2) , используем  и условие 

 .

3)  , тогда 

 .

Пример 8. (+-)3.

 Учтем, что ;

Тогда 

 .

Пример 9. (+1)()()-1.

 Учтем, что , а . Тогда .