Конспект лекций по начертательной геометрии

Комплексные чертежи геометрических фигур

• Следствия:
  • через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость;
  • через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость;
  • через две различные параллельные прямые можно провести только одну плоскость.

Рис. 2.3.

а) проекциями трех точек, не принадлежащих одной прямой линии;
б) проекциями прямой и не принадлежащей ей точки;
в) проекциями двух пересекающихся прямых;
г) проекциями двух различных параллельных прямых;
д) проекциями плоской фигуры.
На рис. 2.3.1 приведены трехмерная модель и комплексный чертеж плоскости общего положения.

Рис. 2.3.1

Принадлежность прямой и точки плоскости. Главные линии плоскости. Проекции плоских фигур

Очевидно, что точка, принадлежащая прямой, расположенной в плоскости, принадлежит этой плоскости. Следовательно, точка М (рис. 2.3.1) принадлежит плоскости Г(a b), так как она принадлежит одной из прямых, задающих плоскость, в данном случае прямой а. При этом М₂ а₂ M₁ a₁.
Рис. 2.3.2. анимационный

Для построения прямой l, принадлежащей плоскости Г(а b), достаточно провести ее через две какие-нибудь точки, принадлежащие этой плоскости, например точки 1 и 2
на рис. 2.3.1. Одна из этих точек может быть несобственной (прямая а'| | a на рис.2.3.1).
Точку, принадлежащую плоскости Г(а b), можно взять на одной из построенных прямых. Например (рис. 2.3.1), N Г(A b) N l Г(a b). Горизонтали, фронтали и профильные прямые, принадлежащие плоскости, называются главными линиями плоскости.
Построение горизонтали h, принадлежащей плоскости, начинают с проведения ее фронтальной проекции h₂ перпендикулярно вертикальным линиям связи в области фронтальной проекции плоскости, а горизонтальную проекцию h₁ строят из условия принадлежности горизонтали плоскости
(рис. 2.3.2).
Построение фронтали f, принадлежащей плоскости, начинают с проведения ее горизонтальной проекции f₁ перпендикулярно линиям связи, в области горизонтальной проекции плоскости, а фронтальную проекцию f₂ строят из условия принадлежности (рис. 2.3.2).
Проекции р₁ и р₂ профильной прямой р совпадают с одной вертикальной линией связи. При этом на чертеже обозначаются проекции двух точек, принадлежащих одновременно прямой р и плоскости (точки 3 и 4 на рис. 2.3.2).
Очевидно, что через каждую точку плоскости можно провести одну горизонталь h, одну фронталь f и одну профильную прямую р. Вообще же в плоскости можно провести множество горизонталей, фронталей и профильных прямых. Все горизонтали плоскости параллельны между собой, точно также параллельны все фронтали и все профильные прямые.
Аксиомы принадлежности прямой и точки плоскости позволяют построить чертеж любой плоской фигуры. Пусть требуется построить чертеж плоского неправильного четырехугольника АВСD. Зададим произвольно три его вершины А, В и С (рис. 2.3.3).

Рис. 2.3.3
Одну из проекций четвертой вершины D, например D₂, также можно задать произвольно. Вторая проекция D₁ должна быть построена на основании принадлежности точки D плоскости, определяемой точками А, В и С. Проведем диагональ (АС) [(А₂С₂) (А₁С₁)] и фронтальную проекцию (В₂D₂)диагонали (ВD). Ее горизонтальную проекцию построим с помощью точки 1 пересечения диагоналей (АС) и (ВD). На горизонтальной проекции (В₁1₁) по линии связи найдем горизонтальную проекцию D₁ иcкомой вершины D.

Плоскости частного положения

Горизонтальная проекция плоскости вырождается в прямую линию ₁, положение которой соответствует положению плоскости в пространстве (₁ = П₁).
Фронтальная проекция плоскости представляет собой множество точек, совпадающее с множеством точек плоскости П₂ (₂ = П₂). Горизонтальная проекция любой геометрической фигуры, принадлежащей плоскости , например треугольника АВС, совпадает с горизонтальной проекцией ₁ плоскости . Показанные на рис. 2.3.4 углы и - величины углов наклона плоскости соответственно к фронтальной и профильной плоскостям проекций.

Фронтально проецируюшая плоскость - плоскость, перпендикулярная П₂ (рис. 2.3.5). Фронтальная проекция такой плоскости вырождается в прямую линию ₂, положение которой соответствует положению плоскости в пространстве (₂ = П₂). Горизонтальная проекция представляет собой множество точек, совпадающих с множеством точек плоскости П₁ (₁ = П₁).
Рис. 2.3.5

Фронтальная проекция любой геометрической фигуры, принадлежащей плоскости , например треугольника ABC, совпадает с фронтальной проекцией ₂ плоскости . Показанные на рис. 2.3.5,б углы и - величины углов наклона плоскости к горизонтальной и профильной плоскостям проекций.
Профильно проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная П₃, (рис. 2.3.6). Профильная проекция плоскости вырождается в прямую ₃, положение которой соответствует положению плоскости в пространстве (₃ = П₃). Горизонтальная и фронтальная проекции представляют собой множество точек, совпадающих соответственно с множеством точек плоскостей П₁ и П₂.

Рис 2.3.6.

Профильная проекция любой геометрической фигуры, принадлежащей плоскости Г, например треугольника АВС, совпадает с профильной проекцией Г₃ плоскости Г. Показанные на рис. 2.3.6 углы и - величины углов наклона плоскости Г к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций.

6. Плоскости уровня

Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня.
Горизонтальная плоскость уровня - плоскость, параллельная П₁ (рис. 2.3.7).
Рис 2.3.7

Горизонтальная плоскость уровня Г перпендикулярна плоскостям П₂ и П₃ т. е. является фронтально и профильно проецирующей одновременно и обладает, следовательно, свойствами каждой из них. Любая геометрическая фигура Ф, принадлежащая плоскости Г
(рис. 2.3.7), проецируется на горизонтальную плоскость проекций в конгруэнтную ей фигуру Ф₁, например:

ABC A₁B₁C₁ABC

Фронтальная плоскость уровня - плоскость, параллельная П₂ (рис. 2.3.8).
Рис 2.3.8

Фронтальная плоскость уровня перпендикулярна плоскостям
П₁ и П₃ т. е. является горизонтально и профильно проецирующей одновременно и обладает, следовательно, свойствами каждой из них. Любая геометрическая фигура Ф, принадлежащая плоскости , проецируется на фронтальную плоскость проекций в конгруэнтную ей фигуру Ф₂, например;


ABC A₂B₂C₂ABC

Профильная плоскость уровня - плоскость, параллельная П₃ (рис. 2.3.9).

Рис 2.3.9

Профильная плоскость уровня перпендикулярна плоскостям
П₂, и П₁, т. е. является горизонтально и фронтально проецирующей одновременно и обладает, следовательно, свойствами каждой из них. Любая фигура Ф, принадлежащая плоскости , проецируется на профильную плоскость проекций в конгруэнтную ей фигуру Ф₃, например:


ABC A₃B₃C₃ABC