Конспект лекций по начертательной геометрии

  Способ вращения состоит в том, что данная геометрическая фигура вращается вокруг некоторой неподвижной оси до требуемого положения относительно неподвижных плоскостей проекций. При этом каждая точка фигуры, например точка А (рис. 3.14), описывает окружность, расположенную в плоскости , перпендикулярной оси вращения i. Центр O этой окружности является точкой пересечения оси вращения с плоскостью Радиус окружности равен расстоянию точки А до оси i (| R | = | AO |).
Рис. 3.14

Если точка А геометрической фигуры, вращаясь вокруг оси i, повернется на некоторый угол , то и все точки фигуры повернутся на угол . Точки геометрической фигуры, принадлежащие оси вращения i (например, точка В на рис. 3.14), в процессе вращения остаются неподвижными.
Для упрощения построений на комплексном чертеже в качестве оси вращения выбирают проецирующую прямую или линию уровня.

Вращение вокруг проецирующей прямой

1. Вращение точки А вокруг горизонтально проецирующей прямой i(i П₁).
Рис.3.15 (анимация)

Если точка А вращается вокруг оси i П₁, то плоскость , в которой располагается окружность, описываемая точкой, становится горизонтальной плоскостью уровня ( П₁). Следовательно, окружность, описываемая точкой А в пространстве (анимационный рис. 3.15), спроецируется на плоскость П₁ без искажения, а на плоскость П₂ - в отрезок прямой, совпадающей с ₂). Таким образом, на комплексном чертеже (рис. 3.16);
1) горизонтальная проекция A₁, точки А перемещается по окружности радиуса
| R | = | АО | = | А₁О₁ | ;
2) фронтальная проекция А₂ точки А перемещается по прямой, перпендикулярной линиям связи (вырожденная фронтальная проекция ₂ плоскости П₁);
Рис. 3.16

3) угол поворота горизонтальной проекции A₁ точки А равен углу поворота точки в пространстве.

2. Вращение точки А вокруг фронтально проецирующей прямой
i (i П₂).

Если точка А вращается вокруг оси i перпендикулярной П₂, то плоскость , в которой располагается окружность, описываемая точкой, становится фронтальной плоскостью уровня ( П₂) (рис. 3.17).
Рис.3.17 (анимация)

Следовательно, окружность, описанная точкой А в пространстве, спроецируется на плоскость П₁ в отрезок прямой, совпадающей с ₁, а на плоскость П₂ - без искажения.
Таким образом, на комплексном чертеже (рис. 3.18):
1) горизонтальная проекция А₁ точки А перемещается по прямой, перпендикулярной линиям связи (вырожденная горизонтальная проекция ₁ плоскости П₂);
2) фронтальная проекция А₂ точки А перемешается по окружности радиуса | R | = | AO | = | A₂O₂ |
Рис. 3.18

3) угол поворота фронтальной проекции А₂ точки А равен углу поворота точки в пространстве.
Примечания: 1. Положение прямой линии в пространстве определяется двумя точками; следовательно, вращение прямой сводится к вращению двух точек, принадлежащих ей.
2. Положение плоскости в пространстве определяется тремя точками, не принадлежащими одной прямой: следовательно, вращение плоскости сводится к вращению трех точек, определяющих плоскость.
3. Вращение прямой можно свести к вращению только одной ее точки, а вращение плоскости - к вращению двух ее точек, если провести ось вращения так, чтобы она пересекала прямую или плоскость.

Основные задачи, решаемые способом вращения

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в линию уровня.
На рис. 3.19 представлена анимационная схема, а на рис. 3.20 решение задачи на комплексном чертеже.
Решение. Для того чтобы прямую общего положения 1(l₁,l₂) преобразовать, например, во фронталь, ее необходимо вращать около оси i П₁;
Рис.3.19 (анимация)

1) выбираем две точки А(А₁А₂) и В(В₁В₂), принадлежащие прямой l;
2) проводим ось вращения i(i₁,i₂) перпендикулярно П₁ через точку В(В₁В₂) прямой l(l₁,l₂);
3) при вращении прямой l вокруг оси i точка В прямой останется неподвижной, так как принадлежит оси, а точка А будет вращаться по правилам, рассмотренным выше;
4) угол поворота точки А и ее горизонтальной проекции А₁ определяется так: когда прямая l займет положение l' параллельное П₂, ее горизонтальная проекция l₁ расположится перпендикулярно линиям связи.
Рис. 3.20

Дальнейшие построения ясны из чертежа. Прямая l' (l'₁,l'₂) - искомая.
Для преобразования прямой l общего положения в горизонталь, ее необходимо вращать около оси i, перпендикулярной П₂ и проходящей через какую-либо точку прямой. Решите самостоятельно эту задачу.
Примечания: 1. При вращении прямой вокруг оси i П₁ угол наклона её к плоскости П₂ не изменяется, поэтому горизонтальная проекция отрезка прямой не меняет свое положение, сохраняя начальную величину.
2. При вращении прямой вокруг оси i П₂ угол наклона ее к плоскости П₂ не изменяется, поэтому фронтальная проекция отрезка прямой меняет свое положение, сохраняя начальную величину.
Подумайте, можно ли прямую общего положения вращением около оси iП₁ расположить параллельно П₁, а около оси i П₂ - параллельно П₂.
3адача 2. Преобразовать линию уровня в проецирующую прямую (рис. 3.21).
Решение. 1. Если линия уровня АВ(А₁В₁,А₂В₂) является горизонталью, то ее можно преобразовать вращением около оси i перпендикулярной П₁ во фронтально проецирующую прямую. При вращении горизонтали вокруг оси i она сохраняет параллельность плоскости П₁ и может быть повернута в положение, перпендикулярное П₂. Построение ясно из чертежа.
Рис. 3.21

2. Если линия уровня является фронталью, то ее можно преобразовать в горизонтально проецирующую прямую вращением около оси i перпендикулярной П₂. Подумайте почему. Решите эту задачу
Примечание. Для того чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить два последовательных преобразования: вначале преобразовать ее в линию уровня (см. первую задачу), а затем линию уровня преобразовать в проецирующую (см. вторую задачу). Почему?

3адача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую (рис. 3.22).
Решение. Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости , преобразовать в проецирующую, то плоскость тоже станет проецирующей. Проще всего для этой цели воспользоваться линиями уровня (см. задачу 2).
Если плоскость (АВС) вращать вокруг оси i П₁ (рис. 3.22), то горизонталь (АК), принадлежащая плоскости, может быть повернута в положение, перпендикулярное плоскости П₂ (см. задачу 2), при этом плоскость становится фронтально проецирующей.
Для упрощения построений на комплексном чертеже горизонталь АК(А₁К₁,А₂К₂) и ось вращения i(i₁,i₂) проведены через вершину А треугольника АВС.
Рис. 3.22

Для построения новой горизонтальной проекции А₁В'₁С'₁ треугольника АВС можно воспользоваться одним из следующих соображений:
1) так как угол наклона плоскости треугольника АВС к плоскости П₁ при вращении вокруг оси i П₁ не изменяется, то
А₁В'₁С'₁А₁В₁С₁;
2) величина угла поворота точек В₁ и С₁ равна величине угла поворота горизонтальной проекции горизонтали ( = К₁А₁К'₁). Точка А₁ неподвижна, так как она принадлежит оси вращения. Остальные построения основаны на правилах, изложенных ранее, и понятны из чертежа.
Треугольник АВ'С' перпендикулярен П₂ и поэтому его фронтальная проекция
В'₂А₂С'₂ вырождается в прямую линию.
Для того чтобы плоскость преобразовать в горизонтально проецирующую, ее необходимо вращать вокруг оси i П₂, а в качестве вспомогательной линии уровня взять фронталь. Решите зту задачу, исходный чертеж задайте самостоятельно.

3адача 4. Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня (рис. 3.23). Если плоскость (АВС) является фронтально проецирующей плоскостью, то ее можно преобразовать в горизонтальную плоскость уровня, вращая вокруг оси i, перпендикулярной плоскости П₁, проведенной через вершину А треугольника АВС.
Рис. 3.23

В то время когда плоскость (АВС) расположится параллельно плоскости П₁ ее фронтальная проекция - прямая (А₂В₂С₂) займет положение (А₂В'₂С'₂), перпендикулярное линиям связи. Величина угла поворота плоскости = С₂A₂C'₂. Остальные построения основаны на правилах, изложенных ранее, и понятны из чертежа.
Горизонтально проецирующую плоскость можно преобразовать во фронтальную плоскость уровня, вращая ее вокруг оси i П₁ и проходящей через какую-либо точку плоскости.
Решите эту задачу, исходный чертеж задайте самостоятельно.
Рис. 3.24

Примечание. Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить два последовательных преобразования: вначале преобразовать ее в проецирующую плоскость (см. третью задачу), а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня (см. четвертую задачу). Почему?
Преобразование плоскости (АВС) во фронтальную плоскость уровня показано на рис. 3.24.

Вращение вокруг линии уровня (совмещение с плоскостью уровня)

Вращение геометрической фигуры вокруг линии уровня (горизонтали или фронтали) производится с целью ее совмещения с плоскостью уровня. Применяется этот способ в основном для преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня при решении следующих задач:
1) определение величины плоской фигуры;
2) определение величины плоского угла;
3) построение в заданной плоскости какой-либо фигуры по заданным условиям.
Линия уровня, вокруг которой вращается плоскость общего положения, должна принадлежать этой плоскости. В этом случае вращение плоскости сводится к вращению только одной точки, не принадлежащей оси вращения.
Рассмотрим процесс совмещения точки В с горизонтальной плоскостью уровня путем вращения ее вокруг горизонтали h, принадлежащей этой плоскости (рис. 3.25).
Рис. 3.25

Точка В, вращаясь вокруг горизонтали h, будет описывать окружность, расположенную в плоскости h. Центр O этой окружности является точкой пересечения оси вращения (h) c плоскостью . Радиус окружности равен расстоянию точки В до оси h(| R | = | ОВ |). Так как плоскость перпендикулярна h, а h параллельна П₁, то перпендикулярна П₁, ее горизонтальная проекция вырождается в прямую ₁ h₁. Следовательно, окружность, описываемая точкой В, спроецируется на плоскость П₁ в отрезок прямой, совпадающей с прямой ₁. Проекцией этой окружности на плоскость П₂ будет эллипс, так как плоскости и П₂ не параллельны.
Таким образом, при вращении точки В вокруг горизонтали ее горизонтальная проекция В₁ перемещается по прямой ₁ h₁. Направление перемещения зависит от направления вращения точки В (на рис. 3.25 показано стрелками). В то время, когда точка В совместится с плоскостью и займет одно из положений В' или В", ее горизонтальная проекция В₁ переместившись по прямой ₁ соответственно займет положение В₁ или В"₁. При этом
| OB' | = | OB" | = | O₁B'₁ | = | O₁B"₁ | = | OB | = | R |
Величину радиуса окружности можно определить способом прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике ОВК гипотенуза | ОВ | = | R |, катет | ОК | = | О₁В₁ | (О₁В₁ - горизонтальная проекция радиуса, катет | ВК | равен разности расстояний концевых точек отрезка | ОВ | до плоскости П₁. На комплексном чертеже (рис. 3.26) построения выполняются в следующей последовательности:
Рис. 3.26

1) Через горизонтальную проекцию В₁ точки В проводим прямую
₁ h₁;
2) ₁ h₁ = 0₁ - горизонтальная проекция центра окружности; фронтальная проекция О₂ центра определяется по линии связи
на h₂;
3) [О₁В₁] и [О₂В₂] - соответственно горизонтальная и фронтальная проекции радиуса окружности;
4) способом прямоугольного треугольника (O₁В₁В₀) определяем величину радиуса окружности
(| R | = | О₁в₀);
5) из точки О₁, как из центра, описываем окружность радиуса | R | = | О₁ В₀ | и отмечаем точки В'₁ и В"₁ пересечения ее с прямой ₁;
6) точки В'₁ ив В"₁ являются горизонтальными проекциями соответственно точек В' и В", фронтальные проекции В'₂ и В₂" определяются по линиям связи на прямой ₂.
В случае вращения точки вокруг фронтали и совмещения ее с фронтальной плоскостью уровня рассуждаем аналогично. Решите самостоятельно эту задачу.
В качестве примера применения рассмотренного способа определим истинную величину треугольника АВС (рис. 3.27).
Рис. 3.27

Если повернуть плоскость треугольника АВС вокруг горизонтали в положение, параллельное плоскости П₁, и построить его новую горизонтальную проекцию, то эта проекция и будет искомой величиной.
1. Проведем в плоскости треугольника АВС горизонталь h(h₁,h₂) через вершину А(А₁,А₂) и отметим точку К(К₁К₂) пересечения ее со стороной ВС(В₁С₁, В₂С₂).
2. Так как точки А и К плоскости треугольника принадлежат оси вращения (горизонтали h), то при вращении плоскости они останутся неподвижными.
3. Таким образом, вращение плоскости треугольника АВС сводится к вращению только одной ее точки, например вершины В, не принадлежащей оси вращения, так как положение плоскости в пространстве определяется тремя точками А, К и В.
4. Вершину В совмещаем с горизонтальной плоскостью , вращая ее вокруг горизонтали h. Все построения на комплексном чертеже аналогичны тем, которые выполнены на рис. 3.26. В результате получим точку В'(В'₁, В'₂.)
5. Три точки А, В' и К определяют новое положение плоскости треугольника АВС, параллельное плоскости П₁.
6. Новое положение С' вершины С определяется как точка пересечения прямой (В'К) с плоскостью ', в которой перемещается точка С. Новая горизонтальная проекция С'₁ точки С' определится как точка пересечения горизонтальной проекции (В₁'К₁) прямой (В'К) с горизонтальной проекцией '₁ плоскости ₁.
7. Треугольник АВ'С' параллелен П₁, следовательно, А₁В₁С₁ABC.
Решите самостоятельно эту задачу вращением плоскости вокруг фронтали.