Метод узловых потенциалов http://teatrkrug.ru/ задачи

Линейные уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

 Для решения уравнений и неравенств со знаком модуля необходимо использовать следующую схему решения.

1. Определить нулевые точки, приравняв нулю выражения, находящиеся 

 под знаком модуля.

2. Разделить числовую ось на интервалы полученными нулевыми 

 точками и решить уравнение или неравенство для каждого интервала, 

 убирая знак модуля в соответствии с правилом (п.III).

3. Полученное решение должно принадлежать рассматриваемому

 интервалу, если решается уравнение. При решении неравенства 

 находится общий промежуток для полученного решения и интервала.

Пример 10. |х+12|-|х-1|=3х-8.

 Нулевыми точками являются значения  и . Рассматриваем последовательно интервалы: . Нулевые точки включаем в интервал, находящийся справа от нулевой точки.

 В интервале , так как при любом  по той же причине. Тогда получается уравнение: . Решение не принадлежит промежутку .

В интервале . Уравнение  имеет решение , не принадлежащее промежутку .

 В интервале . Уравнение  имеет решение , и оно является решением уравнения.

Пример 11. |х-1|+ х < 5-|2х-5|

 Нулевыми точками являются значения  и . Рассматриваем решение для интервалов: .

В интервале . Решаем неравенство . Общим решением  находим .

 В интервале . Решаем неравенство , что означает . Тогда решением системы  является .

 В интервале . Решаем неравенство  и получаем решение . Для системы  решением является .

 Собирая вместе полученные решения, которые имеют общие точки   и , объединяем полученные промежутки в один .

Системы линейных уравнений

 Для решения системы трех линейных уравнений будем использовать метод исключения неизвестных.

Пример 12.  

Исключим неизвестное  из первого и второго уравнения: . Для этого достаточно сложить эти уравнения (левые и правые части). Уравнение  или  будет содержать только два неизвестных.

 Аналогично исключим  из второго и третьего уравнений: . Первое уравнение умножим на 2 (обе части) для того, чтобы коэффициенты при  были равны и

 противоположны по знаку .

 Складывая эти уравнения, получим  или .

Тогда из уравнения . Зная  и  из любого уравнения системы можно найти значение .

Пример 13.  

 Исключаем  из уравнений один и два:

 . Для этого умножим уравнение один на (-2):

 . Суммируем уравнения и получаем 

 Исключаем  из второго и третьего уравнений: 

 . Суммируем их и получаем

 Решаем систему из уравнений , умножая первое

 уравнение на 2 и суммируя:  получим

 . Подставляем  и находим . Из

 любого уравнения системы находим , подставляя 

  (первое уравнение: ).