Художественная роспись тканей

Задачи, связанные с квадратным выражением.

 Квадратное выражение  используется в различного вида задачах: квадратных уравнениях, неравенствах, геометрическом представлении функции  в виде параболы. Для правильного решения задач необходимо знать:

 1) Уравнение  всегда можно привести к виду . Тогда при  ( - дискриминант уравнения) корни уравнения  определяются условием: . Данные условия используют для нахождения корней по теореме Виета.

Пример 16. Найти корни квадратного уравнения по теореме Виета: х2-10х+9=0.

  . Выбираем сомножители, удовлетворяющие условию , то есть .

2) Разложение на сомножители:  возможно только при .

3) Выделение полного квадрата означает приведение  к виду  и выполняется по схеме: , где . Практически, необходимо из выражения   вынести множитель , поделив на него все слагаемые, затем разделить коэффициент перед  пополам и выделить квадрат суммы или разности в зависимости от знака перед , затем вычесть квадрат числа, закрытого в скобке и выполнить действия между числами, после этого умножить на вынесенный множитель полученные скобки  и числовое значение вне скобок.

Пример 17. ; Пояснение: . Если перед  множитель 1 , то выделение полного квадрата упрощается: .

4) Выделение полного квадрата помогает очень просто решить геометрическую задачу по построению параболы, которая является геометрическим образом квадратной функции . Вершина параболы находится в точке , если уравнение параболы привести к каноническому виду: . Выделение полного квадрата практически решает данную задачу: . Пример 18. . Кроме этого, можно использовать и известные формулы для значений:. Для полного построения параболы необходимо также найти точки пересечения с осями координат: с - корни уравнения ; с . Направление ветвей определяется знаком множителя  перед . Ветви расположены вверх при   и вниз при .

5) Решение квадратного неравенства проще выполнять с помощью схематического построения параболы, учитывая только направление ветвей и существование корней уравнения , то есть значений .

Пример 19. Решить квадратное неравенство: ;

 

 . Решаем уравнение  

 . Можно было заметить, что

 . Неравенство   имеет решение ,

 так как парабола расположена ветвями вверх и только касается оси

  в одной точке .

 6) Решение квадратных уравнений и неравенств, содержащих модуль

 необходимо выполнять, убирая модуль по известным правилам, 

 изложенным в §2. 

 

 Пример 20. .

 . Нулевые точки  . В интервалах

  выражение   имеет соответственно знаки

 . Тогда для интервалов  решаем уравнение 

  и   принадлежат данным

 интервалам и являются решениями. В интервале

  и решаем уравнение  или 

 . Решениями являются значения ,

 принадлежащие указанному интервалу. Полный ответ: .

Пример 21. .

 Выражение  имеет нулевые точки  и в интервалах  имеет соответственно знаки . Для интервалов  , а неравенство имеет вид  и имеет решение . С учетом рассматриваемых интервалов решением являются промежутки . В интервале  и решаем неравенство . Решениями будут промежутки . Общим решением системы  является решение . Объединяем полученные решения   и , и окончательный ответ: .