Физика, математика - курс лекций http://refic.ru/

Решение иррациональных уравнений и неравенств

 При решении иррациональных уравнений необходимо: полученное решение проверить подстановкой в исходное уравнение, так как при решении равносильность уравнений часто нарушается.

  Способ решения уравнения зависит от его вида, и можно рекомендовать следующие действия:

Если уравнение содержит только одно выражение с неизвестным

  под знаком радикала (корня), то его уединяют в определенной

 части уравнения и возводят обе части уравнения в степень корня,

 избавляясь от иррациональности.

Таким способом решается задача 13 блока 3.

Если один и тот же радикал встречается в разных частях уравнения, то рациональному решению помогает правильная компоновка уравнения.

Пример.  (задача 14 блока 3)

Преобразования: .

При повторении некоторой части выражения, стоящего под знаком корня и без него, можно сделать замену переменной.

Пример 36.  

Замена:

Уравнение преобразуется к виду: 

Получив значения , приравниваем этим значениям выражение  и получаем решения; проверяем их подстановкой в исходное уравнение.

 4) При решении уравнения вида

  , где  и  линейные функции вида  

можно ввести новые переменные и решить систему нелинейных уравнений. Рассмотрим описанные действия на примере.

Пример 37. .

Замена:  

(1)-(2) Если коэффициенты при  в (1) и (2) неодинаковы, то, прежде, чем складывать или вычитать (1) и (2), нужно уравнять эти

коэффициенты домножением на соответствующие множители (1) и (2).

С учетом исходного уравнения, нелинейная система будет иметь вид

Используя метод подстановки , решим второе уравнение системы:  

.

 При решении иррациональных неравенств очень внимательно нужно отнестись к тем, которые содержат радикалы четной степени. Неравенство нельзя возводить в четную степень, если хотя бы одна из его частей отрицательна.

  Существуют два основных вида неравенств, к которым сводятся многие другие:

  1) (пусть n=1) 

 2) (пусть n=1).Неравенство распадается на две системы

 неравенств:

 а) б)

 При решении иррациональных неравенств используются те же методы решения, что и для рациональных неравенств.

Пример 37. <1

а) Находим область определения:>0; <15.

б) Переносим все слагаемые в левую часть, и приводим ее к общему знаменателю: <0

в) Для решения неравенства методом интервалов получим нулевые точки:

На интервале (-1;15) выражение  меньше нуля, поэтому решением неравенства является интервал 

(-1;15).