Кинематика материальной точки

Прогрессии

 При решении задач, связанных с арифметической () и геометрической ( ) прогрессиями, где  необходимо знать формулы: 

 1) , где - разность арифметической прогрессии;

 2) ,

 где - сумма - членов арифметической прогрессии;

 3) , где - знаменатель геометрической прогрессии;

 4) ,

 где  - сумма - членов геометрической прогрессии;

 5)  - сумма бесконечного числа членов убывающей

 геометрической прогрессии, для которой <1 и n®¥.

 Решение задач сводится к составлению системы уравнений, сложность которой зависит от условий задачи, и дальнейшему ее решению.

Пример 38. Три числа образуют убывающую арифметическую прогрессию, сумма которой равна 3. Известно, что сумма квадратов этих чисел равна 11. Найти разность прогрессии.

 Представим условия задачи:

 а)  - 3 члена арифметической прогрессии; 

 б)(по условию задачи: сумма членов прогрессии равна 3);

 в) (по условию задачи: сумма квадратов членов 

 прогрессии равна 11);

Получена нелинейная система уравнений:

 .

Используем формулу - члена арифметической прогрессии и определим:  Тогда, система преобразуется к виду

 

  или

 

 

Сделаем подстановку  во второе уравнение системы, которое приобретет вид 

Так как, по условию задачи, прогрессия убывающая, то нужно взять значение.

Пример 39. Сумма первых двух членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6, а отношение второго члена к пятому равно 8. Определить сумму прогрессии.

 Представим условия задачи:

 а)  - 3 члена геометрической прогрессии; 

 б) (по условию задачи: сумма 3-х членов геометрической 

 прогрессии равна 56);

 в)  - три члена арифметической

 прогрессии, то есть  тогда

Перейдем к записи условий (б) и (в), используя формулы:  Тогда

Выполним преобразования и получим

Решим систему методом подстановки . Первое уравнение системы приобретет вид:

Необходимо выбрать значение , чтобы выполнилось условие

. В этом случае  По условию задачи необходимо найти сумму 10 членов геометрической прогрессии, то есть

.