Производная функции, и ее приложения

 Наиболее сложными задачами в данной теме являются задачи, в которых необходимо использовать геометрический или механический смысл производной, а также задачи на исследование функции. Необходимо знать, что:

 1)  - производная функции , вычисленная в точке

 *, равна тангенсу угла a наклона касательной,

 проведенной к графику функции в точке с координатами

 , где .

 2) уравнение касательной к графику функции в точке с координатами 

 () может быть записано в виде  Также

 полезно знать, что уравнение прямой через две известные точки с

 координатами ( может быть записано в виде

 . Алгебраическими преобразованиями можно 

 данное уравнение привести к виду , где - угловой

 коэффициент прямой.

красивая алмазная мозаика

 3) - скорость движения материальной точки, вычисленная в

 момент времени .

 4) Решение неравенства >0 и <0 определяет интервалы

 монотонного возрастания и убывания функции, соответственно.

 Эти интервалы должны принадлежать области определения

 функции.

 5) Условие =0 определяет точку , в которой функция

 достигает своего максимума или минимума, если эта точка

 принадлежит области определения функции  и

 производная функции в окрестности точки * меняет знак, то 

 есть >0, а <0 или наоборот, где d - малое

 положительное значение

Пример 47. В каких точках касательные к графику

 функции имеют угол наклона к оси ОХ,

 равный 45°? Напишите уравнения этих касательных.

 

 а) Найдем производную функции: 

 б) По условию задачи угол наклона касательных к графику

 функции должен быть равен ,то

 есть

 в) Решим уравнение

 

 и вычислим значение

 г) Запишем уравнение касательных: 

 при

 при

Пример 48. На параболе y=x2 взяты две точки с абсциссами

  Через эти точки проведена секущая. В какой

 точке параболы касательная к ней параллельна

 проведенной секущей?

 а) Определим уравнение секущей, используя уравнение

 прямой, проходящей через две известные точки. Для этого

 вычислим  Уравнение

 секущей:

 ; Угловой коэффициент этой прямой

 равен 4 (множитель перед , если ).

 б) Параллельные прямые имеют одинаковые угловые

 коэффициенты.

 Поэтому производная функции y=x2 должна быть равна 4,

 то есть  Окончательно,

 получаем ответ:(2;4)

 Для решения задачи необходимо использовать условие

 перпендикулярности двух прямых  и  в

 виде

Пример 49. Найти угловой коэффициент прямой, соединяющей

 точки экстремума функции y=x3-6x2+9x+1.

 а) Найдем точки экстремума функции. Для этого приравняем

 нулю производную функции y=x3-6x2+9x+1 и решим

 уравнение . В окрестности точек

  производная меняет знак, точки принадлежат

 области определения функции (-¥;¥) и являются точками

 экстремума.

 б) Вычислим  Запишем

 уравнение прямой, проходящей через две известные точки с

 координатами (1;5) и (3;1) .

 Угловой коэффициент прямой равен (-2). 

 Пример 50. Найти минимальное целое значение параметра к, при

 котором функция y=x3+5x2+kx+6 не имеет экстремума.

 а) Найдем производную функции y=x3+5x2+kx+6. Так как

 по условию задачи функция не должна иметь экстремума,

 то ¹0, то есть .

 б) Уравнение  не имеет решения, если

 дискриминант<0, то есть >. Минимальное

 целое значение данного неравенства .