Решение типового варианта по математике

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Пример 1. Доказать сходимость ряда  и найти его cумму.

Решение. Общий член данного ряда  представим в виде сум­мы простейших дробей:  

2n+1=An(n+1)2 + B(n+1)2 + Cn2(n+1) + Dn2,

поэтому  Найдем сумму первых n членов ряда:

Далее вычислим сумму ряда:   

т.е. ряд сходится и его сумма S = 1.

Пример 2. Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами.

Решение. Воспользуемся признаком Д’Аламбера. Имеем:

 

Решение. Согласно методу Коши, имеем:  

т.е. данный ряд сходится.

Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Для этого исследуем несобственный интеграл:

Поскольку данный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд.

Решение. Исследуем данный ряд с помощью предельного признака срав­нения. Имеем В качестве ряда, с которым будем сравнивать исходный ряд, возьмем гармонический расходящийся ряд с общим членом

. Тогда, используя первый замечательный предел, имеем

Исследуемый ряд расходится.

Решение. Для этого ряда необходимый признак сходимости рядов

  не выполняется. Действительно,

т.е. исходный ряд расходится.

Внесение под знак дифференциала и замена переменной в интеграле