Решение типового варианта по математике

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Дифференцирование функций

Правила дифференцирования функций одного переменного. При нахождении производных и дифференциалов функции  применяются следующие правила:

 ; (3.1)

 ; (3.2)

 ; (3.3)

 . (3.4)

Заметим, что (3.3) следует из (3.2), так как производная константы всегда равна нулю ().

Чтобы найти производную функции  в точке , необходимо сначала найти , а затем в полученное выражение подставить заданное значение.

Необходимо также знать таблицу производных основных элементарных функций. В Таблице 1 формулы приводятся как для функции независимого аргумента , так и для сложной функции .

Таблица 1

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) ,

7) 

8) ,

9) 

10) 

11) 

12) 

13) 

1¢

2¢

3¢

4¢

5¢

6¢,

7¢

8¢,

9¢

10¢

11¢

12¢

13¢

Дифференциал функции  в произвольной точке задается формулой

 , (3.5)

а в фиксированной точке формулой

 . (3.6)

Для определения производной второго порядка используем правило

 . (3.7)

Пример 3.1. Найти производную для  и выписать дифференциал этой функции.

Решение. Данную функцию можно представить в виде , где , и воспользоваться формулой 9¢) из Табл.1. Далее к числителю полученного выражения применяем (3.1), а функцию также рассматриваем как сложную и находим ее производную с помощью 4¢):

Итак, , а  (в силу (3.5)).

Пример 3.2. Найти производную функции   в точке x=2.

Решение. Функция представляет собой частное, поэтому применяем (3.4), а также формулу производной степенной функции (для  и для ):

Вычисляем производную в заданной точке, для этого подставляем в найденное выражение значение x=2:

.

Пример 3.3. Найти дифференциал функции  в произвольной точке и в точке x=p/2.

Решение. Сначала найдем первую производную исходной функции, воспользовавшись формулами 7¢), (3.4) и 2):

Далее вычисляем производную в точке x=p/2. Поскольку  и , то. В силу (3.6) .

Пример 3.4. Найти вторую производную функции .

Решение. Сначала найдем  и обязательно упростим полученное выражение:

Теперь в силу (3.7) и 1¢) получаем:

.

Внесение под знак дифференциала и замена переменной в интеграле