Решение типового варианта по математике

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Пример 3.6. Найти частные производные первого порядка и выписать дифференциал первого порядка функции  

Решение. Чтобы найти , необходимо зафиксировать переменную y. Воспользовавшись формулой 3¢) из Табл.1, а также (3.1) и (3.3), получим:

В данном случае числовой коэффициент и переменная y выступали в роли констант: во втором слагаемом они были вынесены за скобки при дифференцировании, а третье слагаемое от x не зависело – поэтому его производная по x равна нулю.

Аналогично поступаем и с , только теперь фиксируется переменная y:

Чтобы выписать дифференциал первого порядка, воспользуемся (3.8.):

Пример 3.7. Найти частные производные второго порядка функции . Выписать .

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка. Следует обратить внимание на то, что при фиксированном y функция представляет собой произведение двух функций, зависящих от x, а при фиксированном x это константа, умноженная на функцию от y. Применяя известные уже приемы дифференцирования, получаем:

.

Теперь воспользуемся формулами (3.10) и любой из формул (3.11).

В качестве проверки можно найти вторую смешанную производную и убедиться, что результаты совпадают:

Чтобы записать теперь дифференциал второго порядка в заданной точке (1;1), вычислим значения производных в этой точке, а затем применим (3.12):

; ; ;

.

Внесение под знак дифференциала и замена переменной в интеграле