Решение типового варианта по математике

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Производная по направлению и градиент. Пусть  — функция двух переменных, определенная в некоторой области D, M(x,y) – произвольная точка этой области,   – некоторое направление (вектор, соединяющий

 

 

 

 

 

Рис.1

начало координат с точкой (a,b) и передвинутый параллельным переносом из начала координат в точку M). Через a и b обозначим углы, образованные вектором направления с положительными направлениями осей OX и OY.

Так как (см. рис. 1) , то справедливы формулы

. (3.13)

При этом  и  называются «направляющими косинусами».:

Производная функции  по направлению  в точке M задает скорость изменения функции в этом направлении и может быть найдена по формуле

 . (3.14)

Градиентом функции  в точке M называют вектор с координатами, равными значениям частных производных первого порядка в этой точке:

 . (3.15)

Он определяет направление наискорейшего возрастания функции, а его величина, которую находят по формуле

 , (3.16)

совпадает с максимальной скоростью возрастания функции в данной точке.

Пример 3.7. Пусть . Найти градиент функции в точке M(3;1), величину градиента функции в этой точке и производную функции в той же точке по направлению .

Решение. Предварительно находим частные производные функции первого порядка и их значения в заданной точке:

Теперь воспользуемся формулами (3.15) и (3.16):

.

Далее, , поэтому в силу (3.13) , и в силу (3.14):

.

Внесение под знак дифференциала и замена переменной в интеграле