Решение типового варианта по математике

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Исследование функций

Интервалы монотонности и точки экстремума функции . Как известно, характер монотонности функции на числовом интервале (a,b) связан со знаком ее производной на этом интервале (если  при всех x из (a,b), то функция возрастает, а если   при всех x из (a,b), то убывает). Далее, пусть X – область определения функции  и . Если для всех x из некоторой окрестности точки  выполняется неравенство   (или ), то число M (m) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции , а сама точка  - точкой локального максимума (локального минимума). Оба числа объединяются термином «экстремум функции» (соответственно, говорят и о «точках экстремума»).

При решении задач на поиск экстремумов функции одного переменного придерживаются следующей схемы рассуждений.

1) Установить область определения функции .

2) Найти ее первую производную.

3) Выяснить, в каких точках из области определения производная обращается в нуль (т.е. решить уравнение f’(x) = 0 ) Такие точки называются стационарными. Найти значения x, при которых функция определена, а производная – нет (эти точки в дальнейшем называются критическими).

4) Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения, сделать выводы о характере монотонности.

5) Если при переходе через найденную точку  производная знак не меняет, то  не является точкой экстремума; если в окрестности точки  слева от нее, а справа , то  - точка максимума исходной функции и ; если же в окрестности   слева и  справа, то  - точка минимума исходной функции и .

Пример 4.1. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид  и также определена при всех x. Из уравнения   находим стационарные точки: , . Составляем таблицу для числовых интервалов и определяем знак производной. Для этого, наряду с другими способами, можно ограничиться вычислением значения производной в промежуточных точках полученных интервалов. Например, ,  . Считаем также значения функции в найденных точках: , . Данные собираем в таблицу, в последней строке которой указываем характер монотонности функции:

X

–1

1

0

+

0

Поведение f(x)

-2

2

Вывод

Убыв.

Т мин.

Возр.

Т. макс.

Убыв.

Итак, f возрастает на интервале , убывает на интервалах  и , имеет точку локального минимума x=-1 (при этом ) и точку локального максимума x=1 ().

Пример 4.2 Найти экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, кроме x=-2. Дифференцируя частное, получаем, что . Очевидно, что производная также определена при всех x, кроме x=-2 (критическая точка). Из уравнения  находим стационарные точки: , . Составляем, как и выше, таблицу для числовых интервалов и устанавливаем знаки производной (можно заметить, что знаменатель всегда положителен, а потому знак производной зависит только от числителя). Определяем также значения функции в найденных точках и собираем данные в таблицу.

x

–4

-2

(-2,0)

0

+

0

Не сущ.

0

+

Повед.f(x)

-8

Не сущ.

0

Вывод

Возр.

Т макс.

Убыв.

 

Убыв.

Т. мин.

Возр.

Таким образом, x=-4 – точка локального максимума и , x=0 – точка локального минимума ().

Следует обратить внимание на то, что данный пример иллюстрирует «локальность» экстремума (в частности, оказывается, что).

Пример 4.3. Найти экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид . При этом производная не определена там, где в нуль обращается знаменатель, т.е. при x=0. Эта точка является критической. Стационарных точек нет, так как в числителе стоит постоянное число, и потому дробь не обращается в нуль. Учитывая, что знак производной совпадает со знаком , а потому и со знаком x, получаем, что слева от x=0 (там, где x<0) , а справа . Поэтому x=0 – точка минимума исходной функции, и .

4.2. Наибольшее и наименьшее значение функции одного переменного на числовом отрезке. Пусть y=f(x) – функция, определенная на отрезке [a;b]. Если f(x) непрерывна на этом отрезке, то существуют точки  и , в которых функция достигает своего максимального и минимального значений (на отрезке!). Этими точками могут быть либо внутренние критические точки (из (a;b)), либо граничные. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на числовом отрезке придерживаются следующего алгоритма.

1) Найти первую производную f’(x).

2) Найти стационарные и критические точки и выбрать те из них, которые попадают в отрезок [a;b].

3) Сравнить значения функции в найденных точках и на границах (т.е. в точках x=a, x=b), выбрать наибольшее и наименьшее значения. Характер экстремума не определять!

Пример 4.4. Найти наибольшее и наименьшее значения  на отрезке [1;4].

Решение. , причем производная определена всюду, критических точек нет. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем производную к нулю: . Итак,  и - стационарные точки. При этом , а , поэтому последняя точка нас не интересует. Вычисляем значения исходной функции в выбранной точке и на концах отрезка: ; .

Сравнивая значения, получаем: , .

При решении задач практического характера полезно пользоваться следующим фактом.

Утверждение. Пусть функция  определена на открытом числовом интервале (a;b) и имеет на нем единственную стационарную точку . Если  - точка локального максимума, то ; если  - точка локального минимума, то

Пример 4.5. Предприятие выпускает некий товар в объеме, превосходящем 1 кг. Прибыль (в у.е.) зависит от объема выпущенного товара () и определяются формулой . Найти объем производства товара, при котором прибыль будет максимальна.

Решение. В силу условий задачи функция, максимум которой нас интересует, определена на интервале . Найдем производную этой функции и приравняем к нулю: . Решив квадратное уравнение, получим два корня: . Очевидно, что условию задачи удовлетворяет только первое значение (13>1, 1/3<1). Сравнив знаки производной слева и справа от точки , получим, что это точка максимума. Находим максимальное значение F(x) на заданном интервале:.

Итак, при объеме производства в 13 единиц прибыль будет максимальной и составит 1010 у.е.

Внесение под знак дифференциала и замена переменной в интеграле