Решение типового варианта по математике

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Направления выпуклости графика функции одного переменного. Рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

1) Установить область определения функции .

2) Найти вторую производную .

3) Выяснить, в каких точках из области определения вторая производная обращается в нуль (т.е. решить уравнение ).

4) Установить знак второй производной на числовых интервалах, на которые найденные точки разбили область определения, и определить направления выпуклости (если , то график функции направлен выпуклостью вверх, т.е. Ç; если  - выпуклостью вниз, т.е. È).

5) Если при переходе через найденную точку  направление выпуклости меняется, то точка   называется точкой перегиба графика функции.

Пример 4.6. Найти направления выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид , а вторая производная (она также определена при всех x). Из уравнения  находим точки: , . Составляем таблицу для числовых интервалов, определяем знак второй производной и характер выпуклости графика заданной функции. Заметим, что :

x

0

+

0

Вывод

График направлен выпуклостью вверх, Ç

5/36

График направлен выпуклостью вниз, È

5/36

График направлен выпуклостью вверх, Ç

Таким образом, точки  и  — точки перегиба.

Построение эскиза графика функции одного переменного. Полное исследование функции проводится по следующему плану.

1. Найти область определения функции y=f(x).

2. Проверить наличие у исследуемой функции дополнительных свойств (четность, нечетность, периодичность). В случае, когда, например, функция является нечетной (четной), достаточно проводить исследования и строить эскиз графика при с последующим симметричным его отображением (относительно начала координат для нечетной функции или относительно оси OY для четной).

3. Определить координаты точек пересечения графика функции с осями координат (для нахождения точки пересечения графика с осью OX решаем уравнение f(x)=0; для нахождения точки пересечения графика с осью OY подставляем в аналитическое выражение функции значение x=0).

4. Определить, где функция f(x) является непрерывной; установить точки разрыва и найти  и . Если хотя бы один из этих пределов равен бесконечности, то прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции.

5. Найти  и с ее помощью определить интервалы монотонности функции, точки экстремума и экстремальные значения.

6. Найти , с ее помощью определить направления выпуклости графика функции и найти точки перегиба.

7. Найти наклонные асимптоты графика. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b, где k и b находятся по формулам

   (4.1)

(предполагается, что эти пределы существуют и конечны).

В некоторых случаях пределы в (4.1) приходится вычислять отдельно при  и

8. Собрать всю информацию и построить эскиз графика.

Внесение под знак дифференциала и замена переменной в интеграле