Решение типового варианта по математике

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Пример 3. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд  

Решение. Воспользуемся признаком Лейбница. Имеем:

т.е. данный ряд сходится.

Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда:  . Применим признак Д’Аламбера:

т.е. ряд  сходится. Исходный ряд абсолютно сходится.

Пример 4. Найти область сходимости ряда 

Решение. Воспользуемся признаком Д’Аламбера:

Интервал сходимости определяется неравенством , откуда

. Исследуем граничные точки этого интервала. При х=0 получим числовой ряд, членами которого являются нули. Этот ряд сходится, точка

х=0 входит в его область сходимости. При х=1 получим числовой ряд .  Воспользовавшись предельным признаком сравнения рядов с положительными членами, сравним данный ряд с гармоническим рядом, который расходится и общий член которого :

Следовательно, числовой ряд  расходится и точка х=1 не входит в область сходимости.

Таким образом, область сходимости исследуемого ряда 

Пример 5. Вычислить  приближенно с точностью α=0,0001,

 воспользовавшись разложением функции  в степенной ряд.

Решение. Воспользуемся рядом:

Так как  , то

Получили знакочередующийся числовой ряд. Для того чтобы вычислить значения функции с точностью  необходимо, чтобы первый отбрасываемый член был меньше 0,0001 (по следствию из признака

Лейбница). Имеем: 

С заданной степенью точности  

Внесение под знак дифференциала и замена переменной в интеграле