Решение типового варианта по математике

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Внесение под знак дифференциала и замена переменной. Можно заметить, что иногда часть подынтегральной функции образует дифференциал некоторого выражения, что позволяет применять табличные формулы.

Пример 5.2 Найти: а) ; б) .

Решение. В примере а) можно заметить, что , а затем воспользоваться формулой 5) при u=lnx:

В случае б) , а потому в силу 11) при  получим:

Замечание 1. При внесении под знак дифференциала полезно, наряду с использованными выше, учитывать следующие соотношения:

;

.

Замечание 2. Интегралы из примера 5.2. можно было найти и с помощью замены переменной. При этом в определенном интеграле следует менять и пределы интегрирования. Преобразования в 5.2.б) выглядели бы, например, так:

В общем случае выбор замены определяется видом подынтегральной функции. В некоторых случаях рекомендуются специальные замены. Например, если в выражении присутствует иррациональность вида , то можно положить  или .

Пример 5.3 Найти: а) ; б) .

Решение. В случае а) имеем

(после замены применили табличную формулу 11)).

При решении б) обязательно проводим замену пределов интегрирования.

5.3. Интегрирование по частям. В ряде случаев помогает «формула интегрирования по частям». Для неопределенного интеграла она имеет вид

 , (5.2)

для определенного

  , (5.3)

При этом важно учитывать следующее.

1) Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на функции , то в качестве u выбирается многочлен, а оставшееся под знаком интеграла выражение относится к dv.

2) Если подынтегральная функция содержит обратные тригонометрические () или логарифмические () функции, то в качестве u выбирается одна из них.

Пример 5.4. Найти: а) ; б) .

Решение. В случае а) применяем формулу (5.2) и второе правило. Именно, полагаем . Тогда . Далее, , а потому . Следовательно, . В полученном интеграле выделим целую часть подынтегральной функции (так поступают, когда степень числителя не меньше степени знаменателя):

.

Окончательно решение выглядит так:

В примере б) используем (5.3) и первое из правил.

Внесение под знак дифференциала и замена переменной в интеграле