Решение типового варианта по математике

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Приложения определенного интеграла. Как известно, криволинейной трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x), называется область, ограниченная графиком функции y=f(x), осью OX и двумя вертикальными прямыми x=a, x=b. Коротко это можно записать так:   (см. рис.3).

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что площадь такой криволинейной трапеции вычисляется по формуле

  (5.7)

Если область на плоскости имеет вид  (см. рис.4), причем от обеих функций требуется только непрерывность, то справедлива формула

 . (5.8)

 

Рис. 3 Рис. 4

Пример 5.7. Найти площадь области, ограниченной: 

а) осью ОХ и линиями ;

б) графиками функций .

Решение. Предварительно необходимо построить соответствующие графики и определить область, площадь которой нужно найти. Для случая а) это сделано на рис.5 (стр.35). Очевидно, что заштрихованная область представляется в виде объединения двух криволинейных трапеций:  и . Здесь  – абсцисса точки пересечения графиков функций . Нужное значение найдем, решая соответствующую систему уравнений:

Таким образом, выбираем решение  (с учетом того, что ). Площади криволинейных трапеций   и  находим по формуле (5.7), а затем суммируем, чтобы получить область всей интересующей нас области:

   .

В случае б) графики и область, площадь которой надо найти, изображены на рис.6 (стр.35). Очевидно, что мы имеем дело с объединением двух областей. При этом   (эта криволинейная трапеция состоит из двух симметричных относительно оси OX частей, поэтому , где ) и . Как и выше,  и  - абсциссы точек пересечения графиков, которые находим, решая систему уравнений:

откуда  и . Для вычисления площади криволинейной трапеции   применяем формулу (5.7), для вычисления площади  - (5.8):

Окончательно имеем:

Замечание. Другие примеры, связанные с нахождением неопределенных и определенных интегралов и определением площадей плоских областей можно найти в [1, стр.19-24], [2, стр.3-8] и [4, стр.3-11].

 

Рис. 5 Рис.6

Внесение под знак дифференциала и замена переменной в интеграле