Решение типового варианта по математике

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Пример 6. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определённый интеграл  с точностью до 0,001.

Решение. Воспользуемся биномиальным рядом

Тогда 

Получили бином вида (1+z)n, где n=-1/3, a z=-(x/2)3 . Имеем:

Пример 7. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом  ) функцию 

Решение. Вычислим коэффициенты Фурье:

 

Ряд Фурье для данной функции запишется в виде

Внесение под знак дифференциала и замена переменной в интеграле