Решение типового варианта по математике

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Контрольная работа

Уравнения математической физики. Теория функций комплексного переменного. Элементы операционного исчисления

Основные свойства преобразования Лапласа

1. Линейность:

2. Подобие: 

3. Смещение: 

4. Дифференцирование оригинала:

…………………………………………………………

5. Дифференцирование изображения

…………………………….

Соответствие между оригиналами и изображениями

Таблица 2

x(t) при  (оригинал)

X(p) (изображение)

x(t) при  (оригинал)

X(p) (изображение)

I

1

VI

II

VII

III

VIII

IV

IX

V

X

 

Пример 1. Дана струна, закрепленная на концах х=0 и х=l. Пусть в начальный момент форма струны имеет вид ломаной ОАВ (рисунок 1). Найти форму струны для любого времени t, если начальные скорости отсутствуют.

 Решение. Угловой коэффициент ОА (рис.1) равен h/(l/2), т.е. 2h/l. Следовательно, уравнение этой пря мой есть u=(2h/l)x.

Прямая АВ отсекает на осях координат отрезки l и 2h, поэтому уравнение этой прямой имеет вид х/l+u/(2h)=l, или u=(2h/l)(l-x). Итак,

. Интегрируя по частям, получаем:

Следовательно,

Выпишем несколько членов ряда:

Внесение под знак дифференциала и замена переменной в интеграле