Решение типового варианта по математике

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Контрольная работа № 12

Теория вероятностей и математическая статистика

Классическое определение вероятности событий

Пример 1. Пусть в урне имеется 12 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность извлечь белый шар?

Решение. При выборе шара равновозможно извлечь любой из 19 шаров, n=19. Из этих 19 шаров белого цвета 12, т.е. m=12. Таким образом, вероятность вынуть белый шар равна: 

Аналогично, вероятность извлечь черный шар

Теорема сложения вероятностей

Пример 2. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов разыгры­вается 100 вещевых и 10 денежных выигрышей. Определить вероятность денежного или вещевого выигрыша на один лотерейный билет.

Решение. Обозначим: А – событие, состоящее в том, что выиграна вещь, вероятность этого события:

Событие В – выиграны деньги:

События А и В несовместные, так как один билет может выиграть либо вещь, либо деньги. Событие А+В состоит в выигрыше или вещи, или денег. Согласно теореме сложения вероятностей для несовместных событий находим:

Теорема умножения вероятностей

Пример 3. Имеется 10 радиоламп, среди которых 3 неисправные, на вид не отличающиеся от новых. Наугад выбирают друг за другом две лампы. Какова вероятность того, что обе лампы окажутся исправными.

Решение. Пусть событие А1 состоит в том, что первая лампа окажется исправной. Вероятность Р(А1) = 7/10.

Событие А2 – вторая лампа исправна. Вероятность второго события будет зависеть от события А2.:

Событиe А1А2 состоит в том, что обе лампы исправны. Применяем теорему умножения вероятностей зависимых событий:

  Пример 4. Прибор состоит из двух узлов, которые во время работы могут независимо друг от друга выходить из строя. Пусть вероятность безотказ- ной работы первого узла в течение гарантийного срока равна 0,7, а второго 0,9. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока прибор будет работать исправно.

Решение. Прибор работает исправно, если два узла работают без сбоев. Пусть событие А1 состоит в том, что первый узел работает Р(А1) = 0,7. Событие А2 – второй узел работает Р(А2) = 0,9. Тогда, вероятность того, что оба узла работают, найдем по теореме умножения вероятностей независимых событий: 

Пример 5. Студент знает 20 вопросов из 40 по первому разделу и 40 из 50 вопросов по второму разделу. На экзамене ему случайным образом предлагается ответить на вопросы из обоих разделов. Найти вероятность того, что студент ответит правильно: 1) на оба вопроса; 2) только на один вопрос; 3) хотя бы на один вопрос.

Решение. 1. Пусть событие А состоит в том, что студент ответит правиль­но на вопрос из первого раздела. Р(А) = 20/40 = 0,5.

Событие В – студент ответит верно на вопрос второго раздела

Р(В) = 40/50 = 0,8. Вероятность события В не зависит от того, ответит студент или нет на вопрос из первого раздела. События А и В независимы.

Событие АВ – студент ответит правильно на оба вопроса.

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

2. Событие “Студент ответит правильно только на один вопрос” рас­кладывается на элементарные события:  (студент ответит правиль но на вопрос из первого раздела и неправильно на вопрос второго раздела или ответит неправильно на вопрос первого раздела и правильно на вопрос второго раздела). Событие  – студент ответит неправильно на вопрос первого раздела. Р() = 20/40 = 0,5. Событие  – студент ответит неправильно на вопрос второго раздела. Р() = 10/50 = 0,2.

Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий, получим: Р() = Р(А)Р() + Р()Р(В) = 0,50,2 + 0,50,8 = 0,5.

3. Событие A+B –студент ответит правильно хотя бы на один вопрос. Вероятность события A+B можно найти тремя способами.

1 способ решения. Событие A+B возможно разложить на элементар­ные события : AB +A +B. Тогда:

P(AB + A +B) = P(A)P(B) + P(A)P() + P()P(B) = 0,50,8 + 0,50,2+ +0,50,8 = 0,9.

2 способ решения. Событие A+B противоположно  событию  - студент не ответит на вопросы обоих разделов. Воспользуемся формулой:

P(A+B) = 1  P () = 1 – 0,5  0,2 = 0,9.

3 способ решения. Так как события A и B совместные и независи­мые, воспользуемся теоремой сложения вероятностей двух совместных со­бытий: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,5 + 0,8 – 0,50,8 = 0,9.

Внесение под знак дифференциала и замена переменной в интеграле