Примеры решения задач по электротехнике, физике

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Пример 5. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I=80 А. Найти магнитную индукцию В в точке A, равно­удаленной от всех точек кольца на расстояние г=20 см.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био — Савара — Лапласа:

dB[dl,r],

где dB —магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока Idl в точке, определяемой радиус-вектором r.

 

 Рис. 7

Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем радиус-вектор г (рис. 7). Вектор dB направим в соответствии с правилом буравчика.

  Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукции В в точке А определяется интегралом

 

где интегрирование ведется по всем элементам dI кольца Разложим вектор  dB на две составляющие: dB┴ – перпендикулярную плоскости кольца и dB║ — параллельную плоскости кольца, т. е.

dB=dB^+dB½½. Тогда

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы dB┴ от различных элементов dI сонаправлены, заменим векторное суммирование, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

где ( поскольку dI перпендикулярен r и, следовательно, sin a=1). Таким образом,

После сокращения на 2π и замены cos β на R/r (рис. 7)

Выразим все величины в единицах СИ, произведем вычисления:

или

Вектор В направлен на оси кольца (пунктирная стрелка на рис. 7) в соответствии с правилом буравчика.

Пример 6. бесконечно длинный проводник изогнут так, как это изображено на рис. 8. Радиус дуги окружности R=10 см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в токе О током I=80 A, текущим по этому проводнику.

Решение. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей В=∑Вi. В на­шем случае проводник можно разбить на три части (рис. 9) два прямолинейных проводника (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда

B=B1+B2+B3

где B1, В2 и В3 — магнитные индукции поля в точке О, создавае­мые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках проводника. 

 

 Рис. 8 Рис. 9

Так как точка О лежит на оси проводника 1, то В1=0 и тогда

B=B2+B3

Учитывая, что векторы В2 и В3 направлены в соответствии с пра­вилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, гео­метрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

В=В2+В3.

Магнитную индукцию поля В2 можно найти, используя выраже­ние для магнитной индукции в центре кругового проводника с то­ком I:

Так как магнитная индукция В2 создается в точке О половиной такого кругового проводника с током, то, учитывая равный вклад в магнитную индукцию от каждой половинки проводника, можно написать

Магнитную индукцию В3 найдем, используя формулу (3) при­мера 3:

В нашем случае

Тогда

Используя найденные выражения для В2 и В3 получим

или

Произведем вычисления:

Примеры решения задач по электротехнике, физике