Примеры решения задач по электротехнике, физике

Пример 15. Определить энергию фотона, соответствующего второй линии в первой инфракрасной серии (серии Пашена) атома водорода.

Решение. Энергия ε фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую,

Рис.8

где Ei — энергия ионизации атома водорода; m=1,2,3,...—номер орбиты, на которую переходит электрон (рис. 8); n=m+1;

 m+2;...— номер орбиты, с которой переходит электрон. Для серии Пашена m=3; для второй линии этой серии n= 3+2=5.

Подставив числовые значения, найдем энергию фотона:

ε = 0,97 эВ.

Пример 16. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля l для двух случаев: 1) U1= = 51 кВ; 2) U2 = 510 кВ.

Решение. Длина волны де Бройля l частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой

l = 2pħ/p (1)

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией для нерелятивистского (когда T<<E0) и для релятивистского (когда T » E0) случаев соответственно выражается формулами:

;  (2)

 (3)

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется соответственно в нерелятивистском и релятивистском случаях:

 ; (4)

  (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим вопрос, которую из формул (4) и (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, 

T = |e|U.

В первом случае T1 = |e|(U1 = 51 эВ = 0,51×10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона E0 = m0c2 = 0,51 МэВ. Следовательно, можно применить формулу (4).

Для упрощения расчетов заметим, что T1 = 10-4 m0c2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде



Учтя, что  есть комптоновская длина волны lC, получим .

Так как lC = 2,43×10-12 м, то 

Во втором случае кинетическая энергия Т2= ½е½ U2 = 510 кэВ = 0,51 МэВ, т. е. равна энергии покоя электрона. Следовательно, необходимо применить релятивистскую формулу (5).

Учтя, что Т2 =0,51 МэВ=mc2, по формуле (5) найдем

Подставив значение lс в последнюю формулу и произведя вычисления, получим

l2=1,4 пм.

Пример 17. На узкую щель шириной а = 1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость = 3,65 Мм/с. Учитывая волновые свойства электронов, определить расстояние х между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на L = 10 см от щели.

Решение. Согласно гипотезе де Бройля, длина волны l, соответствующая частице массой т, движущейся со скоростью, выражается формулой

l = 2pħ/(mu).  (1)

Дифракционный максимум при дифракции на одной щели наблюдается при условии

a sin j = (2k+1)(l/2),  (2)

где k = 0, 1, 2, 3, . . .—порядковый номер максимумов; a — ширина щели.

Подпись: Рис.9Для максимумов первого порядка (k=1) угол j заведомо мал, поэтому sin j = j, и, следовательно, формула (2) примет вид

aj = 3/2l,  (3)

 а искомая величина х, как следует из рис. 9,

x = 2L tg j = 2Lj, (4)

так как tg j = j.

Получим

 

Подстановка в последнее равенство длины волны де Бройля по формуле (1) дает

.

После вычисления по формуле (5) получим

 x = 6 · 10-41=60 мкм.

Примеры решения задач по электротехнике, физике