Примеры решения задач по электротехнике, физике

Примеры решения задач по электротехнике, физике
Линейные электрические цепи постоянного тока
Методы расчета сложных цепей постоянного тока
Примеры  решения типовых задач
Рассчитаем токи для электрической цепи.
Электрические цепи однофазного синусоидального тока
Символический метод расчета электрических цепей
Комплексная амплитуда тока
Действующее значение напряжения, приложенного к электрической цепи
Применение векторных диаграмм для расчета электрических цепей
Резонансы в электрических цепях
Электрические цепи трехфазного тока
Интерференция света
Фотоны. Энергия, импульс световых квантов
Статистическая физика
Элементы кристаллографии

Пример 18. На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения θ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость ν.

Решение. К расчету дифракции электронов от кристаллической решетки применяется то же уравнение Вульфа — Брэгга, которое используется в случае рентгеновского излучения:

2d sin θ = kλ

где d — расстояние между атомными плоскостями кристалла: θ — угол скольжения; k —порядковый номер дифракционного максимума; λ — длина волны де Бройля. Очевидно, что

λ = (2 d sin θ)/k.

Подставив в эту формулу значения величин и вычислив, получим

λ =360 пм.

Из формулы длины волны де Бройля λ = 2πħ/(mν) выразим скорость электрона:

ν = 2πħ/(mλ)

Подставив в эту формулу значения π, ħ, m (масса электрона), и произведя вычисления, найдем

v=2 Мм/с.

Пример 19. Кинетическая энергия Т электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Решение. Неопределенность координаты и импульса электрона связаны соотношением

ΔxΔp ≥ ħ (1)

где Δx — неопределенность координаты электрона; Δр — неопределенность его импульса.

Из этого соотношения следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью: Δx = l/2. Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде (l/2} Δp ≥ ħ, откуда

l ≥ 2ħ /(Δр) (2)

Физически разумная неопределенность импульса Δp, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса р, т. е.

Δp ≤ p

Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением  Заменим Δp значением (такая замена не увеличит l ). Переходя от неравенства (2) к равенству, получим

lmin = 2ħ/

Подставив числовые значения и произведя вычисления, найдем lmin = 124 пм.

Пример 20. Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину ∆λ спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время τ жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10-8 с, а длину волны λ излучения равной 600 нм. 

Рис. 10

Решение. При переходе атомов из возбужденного состояния в основное существует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускаемых фотонов. Это связано с тем, что энергия возбужденного состояния не является точно апрель деленной, а имеет конечную ширину Г (рис. 10). Согласно соотношению неопределенностей энергии и времени, ширина Г энергетического уровня возбужденного состояния связана со средним временем т жизни атомов в этом состоянии соотношением

Гτ ~ ħ

Тогда ширина энергетического уровня определяется выражением

Г = ħ /τ

Вследствие конечной ширины уровня энергии возбужденного состояния энергия фотонов, испускаемых атомами, также имеет разброс, равный ширине энергетического уровня, т. е. ∆ε = Г. 

Тогда

∆ε = ħ/ τ (1)

Поскольку энергия е фотона связана с длиной волны λ соотношением

ε = 2πħc/λ

то разбросу ∆ε(∆ε <<ε) энергии соответствует разброс ∆λ длин волн (∆λ<<λ)

∆ε =    (2)

(знак минус опущен).

Входящий в это выражение конечный интервал длин волн Д?.и есть естественная ширина спектральной линии. Выразив Д^ из формулы (2) и заменив Де согласно (1), получим

Произведем вычисления:

∆λ = 2 · 10-14м =20 фм

Примеры решения задач по электротехнике, физике