Примеры решения задач по электротехнике, физике

Пример 18. На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения θ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость ν.

Решение. К расчету дифракции электронов от кристаллической решетки применяется то же уравнение Вульфа — Брэгга, которое используется в случае рентгеновского излучения:

2d sin θ = kλ

где d — расстояние между атомными плоскостями кристалла: θ — угол скольжения; k —порядковый номер дифракционного максимума; λ — длина волны де Бройля. Очевидно, что

λ = (2 d sin θ)/k.

Подставив в эту формулу значения величин и вычислив, получим

λ =360 пм.

Из формулы длины волны де Бройля λ = 2πħ/(mν) выразим скорость электрона:

ν = 2πħ/(mλ)

Подставив в эту формулу значения π, ħ, m (масса электрона), и произведя вычисления, найдем

v=2 Мм/с.

Пример 19. Кинетическая энергия Т электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Решение. Неопределенность координаты и импульса электрона связаны соотношением

ΔxΔp ≥ ħ (1)

где Δx — неопределенность координаты электрона; Δр — неопределенность его импульса.

Из этого соотношения следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью: Δx = l/2. Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде (l/2} Δp ≥ ħ, откуда

l ≥ 2ħ /(Δр) (2)

Физически разумная неопределенность импульса Δp, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса р, т. е.

Δp ≤ p

Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением  Заменим Δp значением (такая замена не увеличит l ). Переходя от неравенства (2) к равенству, получим

lmin = 2ħ/

Подставив числовые значения и произведя вычисления, найдем lmin = 124 пм.

Пример 20. Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину ∆λ спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время τ жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10-8 с, а длину волны λ излучения равной 600 нм. 

Рис. 10

Решение. При переходе атомов из возбужденного состояния в основное существует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускаемых фотонов. Это связано с тем, что энергия возбужденного состояния не является точно апрель деленной, а имеет конечную ширину Г (рис. 10). Согласно соотношению неопределенностей энергии и времени, ширина Г энергетического уровня возбужденного состояния связана со средним временем т жизни атомов в этом состоянии соотношением

Гτ ~ ħ

Тогда ширина энергетического уровня определяется выражением

Г = ħ /τ

Вследствие конечной ширины уровня энергии возбужденного состояния энергия фотонов, испускаемых атомами, также имеет разброс, равный ширине энергетического уровня, т. е. ∆ε = Г. 

Тогда

∆ε = ħ/ τ (1)

Поскольку энергия е фотона связана с длиной волны λ соотношением

ε = 2πħc/λ

то разбросу ∆ε(∆ε <<ε) энергии соответствует разброс ∆λ длин волн (∆λ<<λ)

∆ε =    (2)

(знак минус опущен).

Входящий в это выражение конечный интервал длин волн Д?.и есть естественная ширина спектральной линии. Выразив Д^ из формулы (2) и заменив Де согласно (1), получим

Произведем вычисления:

∆λ = 2 · 10-14м =20 фм

Примеры решения задач по электротехнике, физике