Пример 21. Определить начальную активность А0 радиоактивного магния 27Mg массой m=0,2 мкг, а также активность А по истечении времени t=1 ч. Предполагается, что все атомы изотопа радиоактивны.
Решение. Начальная активность изотопа
А0 = λN0 (1)
где λ — постоянная радиоактивного распада; N0— количество атомов изотопа в начальный момент (t=0).
Если учесть, что
то формула (1) примет видВыразим входящие в эту формулу величины в СИ и произведем вычисления:
A0=5,15×1012 Бк=5,15ТБк.
Активность изотопа уменьшается со временем по закону
A=A0 e-λt (3)
Заменив в формуле (3) постоянную распада λ ее выражением, получим
A=A0 e-ln2*t/T1/2 =A0 (eln2)-t/T1/2
Так как eln2 = 2 окончательно будем иметь
A=A0 /2t/T1/2
Сделав подстановку числовых значений, получим A=8,05×1010 Бк= 80,5 ГБк .
Пример 22. При определении периода полураспада T1/2 короткоживущего радиоактивного изотопа использован счетчик импульсов. За время ∆t = 1 мин в начале наблюдения (t=0) было насчитано ∆n1=250 импульсов, а по истечении времени t=1 ч - ∆n2=92 импульса. Определить постоянную радиоактивного распада λ и период полураспада T1/2 изотопа.
Решение. Число импульсов ∆n, регистрируемых счетчиком за время ∆t, пропорционально числу распавшихся атомов ∆N.
Таким образом, при первом измерении
∆n1=k∆N1=kN1(1-e–λ∆t), (1)
где N1— количество радиоактивных атомов к моменту начала отсчета; k — коэффициент пропорциональности (постоянный для данного прибора и данного расположения прибора относительно радиоактивного изотопа).
При повторном измерении (предполагается, что расположение приборов осталось прежним)
∆n2=k∆N2=kN2(1-e–λ∆t), (2)
где N2— количество радиоактивных атомов к моменту начала второго измерения.
Разделив соотношение (1) на выражение (2) и приняв во внимание, что по условию задачи ∆t одинаково в обоих случаях, а также что N1 и N2. связаны между собой соотношением N2 = N1 e-λt, получим
∆n1/∆n2=eλt (3)
где t — время, прошедшее от первого до второго измерения. Для вычисления l выражение (3) следует прологарифмировать: In(∆n1/∆n2)=λt, откуда
λ = (1/t)×ln(∆n1/∆n2).
Подставив числовые данные, получим постоянную радиоактивного распада, а затем и период полураcпада:
λ = (1/1)×ln(250/92)ч-1 = 1ч-1;
T1/2 = ln2/λ = 0,693/1 = 0,693ч = 41,5 мин.
