Примеры решения задач по электротехнике, физике

Статистическая физика

Молекулярно-кинетическая теория

 Концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы

n=N/V,

где V — объем системы.

 Основное уравнение кинетической теории газов

p=2/зn<eп>,

где р — давление газа; <eп>— средняя кинетическая энергия* поступательного движения молекулы.

 Средняя кинетическая энергия:

приходящаяся на одну степень свободы молекулы 

<e1>=½kT;

;

поступательного движения молекулы

,

где k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая темпера­тура; i — число степеней свободы молекулы;

вращательного движения молекулы

 Зависимость давления газа от концентрации молекул и тем­пературы

p=nkT.

Скорость молекул:

средняя квадратичная

, или ;

средняя арифметическая

, или ;

наиболее вероятная

, или ,

где m1 — масса одной молекулы.

Явления переноса

 Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени,

,

где d — эффективный диаметр молекулы; п — концентрация моле­кул; <υ> — средняя арифметическая скорость молекул.

 Средняя длина свободного пробега молекул газа

.

 Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности,

,

где h— динамическая вязкость газа; —градиент (поперечный) скорости течения его слоев; DS — площадь элемента поверхности; dt — время переноса.

 Динамическая вязкость

h=r<υ><l>

где r — плотность газа (жидкости); <υ> — средняя скорость хаоти­ческого движения его молекул; <l> — их средняя длина свободного пробега.

 Закон Ньютона

,

где F — сила внутреннего трения между движущимися слоями газа.

 Закон Фурье

DQ= -lSDt,

где DQ — теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью S за время Dt; l — теплопроводность; - градиент температуры.

 Теплопроводность .(коэффициент теплопроводности) газа

l=cvr<υ><l> или l=<υ><l>,

где cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; r — плотность газа; <υ> — средняя арифметическая скорость его молеку­лы; <l> — средняя длина свободного пробега молекул.

 Закон Фика

,

где Dm — масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время Dt; D — диффузия (коэффициент Эффузии); -градиент концентрации молекул; m1 —масса одной молекулы.

 Диффузия (коэффициент диффузии)

D=<υ><l>.

Статистические распределения

 Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

n=n0e-U/(kT),

где п — концентрация частиц; U — их потенциальная энергия; n0 — концентрация частиц в точках поля, где U=0; k — постоян­ная Больцмана; T — термодинамическая температура.

 Барометрическая формула (распределение давления в одно­родном поле силы тяжести)

р=p0e-mgz/(kT), или p=p0e-Mgz/(RT),

где р — давление газа; m — масса частицы; М — молярная масса; z — координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р0 — давление на этом уровне; g — ускорение свобод­ного падения; R — молярная газовая постоянная.

 Вероятность того, что физическая величина х, характери­зующая молекулу, лежит в интервале значений от х до x+dx, определяется по формуле

dW(x)=f(x)dx

где f(x)—функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности).

 Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до x+dx,

dN=NdW(x)=Nf(x)dx.

 Распределение Максвелла (распределение молекул по ско­ростям) выражается двумя соотношениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от J до J+dJ,

,

где f(υ) —функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от υ до υ+dυ, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N — общее число молекул; m — масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u+du,

где u=υ/υв — относительная скорость, равная отношению скорости J к наивероятнейшей скорости υв; f(u) — функция распределения по относительным скоростям.

 Распределение молекул по импульсам. Число молекул, им­пульсы которых заключены в пределах от р до p+dp,

,

где f(p) — функция распределения по импульсам.

 Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энер­гии которых заключены в интервале от e до e+de,

,

где f(e)—функция распределения по энергиям.

 Среднее значение физической величины х в общем случае

,

а в том случае, если функция распределения нормирована на еди­ницу,

<x>=òxf(x)dx

где f(x) — функция распределения, интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины х.

Например, среднее значение скорости молекулы (т. е. средняя арифметическая скорость)

;

средняя квадратичная скорость

<υкв>=<υ2>1/2,

где

;

средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы .

Тепловые свойства

Молярная внутренняя энергия химически простых (состоя­щих из одинаковых атомов) твердых тел в классической теории теп­лоемкости выражается формулой

Um = 3RT,

где R — молярная газовая постоянная; Т — термодинамическая температура.

Теплоемкость С системы (тела) при постоянном объеме опре­деляется как производная от внутренней энергии U по температуре, т. е.

C = dU/dT.

Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость Cm химиче­ски простых твердых тел

Cm = 3R

Закон Неймана — Коппа. Молярная теплоемкость химиче­ски сложных тел (состоящих из различных атомов)

Сm = n×ЗR,

где п — общее число частиц в химической формуле соединения.

Среднее значение энергии  квантового осциллятора, при­ходящейся на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштей­на выражается формулой

где e0 — нулевая энергия (e0 = 1/2ħw); ħ — постоянная Планка;

w — круговая частота колебаний осциллятора; k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура.

Молярная внутренняя энергия кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна определяется по формуле

где Umo = 3/2RqE — молярная нулевая энергия по Эйнштейну;

qE = ħw/k — характеристическая температура Эйнштейна.

Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории тепло­емкости Эйнштейна

При низких температурах (T<<qE)

Сm = 3R(qE/T)exp(-qE/T).

Частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемко­сти Дебая задается функцией распределения частот g(w). Число dZ собственных частот тела, приходящихся на интервал частот от w до w dw, определяется выражением

dZ =g(w)dn

Для трехмерного кристалла содержащего N атомов,

,

где wmax — максимальная частота, ограничивающая спектр коле­баний.

Энергия U твердого тела связана с средней энергией  квантового осциллятора и функцией распределения частот g(w) соотношением

Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю

где -молярная нулевая энергия кристалла по Дебаю; -характеристическая температура Дебая.

Молярная теплоёмкость, кристалла по Дебаю

Предельный закон Дебая. В области низких температур (Т<<qВ) последняя формула принимает вид

.

Кристаллы. Элементы кристаллографии

Пример 1. В баллоне вместимостью V=6,9 л находится азот массой m=2,3 г. При нагревании часть молекул диссоциировали на атомы. Коэффициент диссоциации a=0,2. Определить: 1) общее число N1 молекул и концентрацию n1 молекул азота до нагревания; 2) концентрацию n2 молекул и n3 атомов азота после нагревания.

Пример 3. Средняя длина свободного пробега <l> молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <J> молекул и число z соударений, которые испытывает молекула в 1 с.

Пример 6. Пылинки массой m=10-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентра­ция пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме одинакова и равна 300 К.

Пример 9. Определить количество теплоты DQ, необходимое для нагревания кристалла NaCI массой m=20г на DТ=2К, в двух случаях, если нагревание происходит от температуры: 1) T1=qВ; 2) Т2=2К. Характеристическую температуру Дебая qD для NaCI принять равной 320 К. 

Пример 12. Определить число п узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке.