Статистическая физика
Молекулярно-кинетическая теория
Концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы
n=N/V,
где
V — объем системы.
Основное уравнение кинетической теории газов
p=2/зn<eп>,
где
р — давление газа; <eп>— средняя
кинетическая энергия* поступательного движения молекулы.
Средняя
кинетическая энергия:
приходящаяся на одну степень свободы молекулы
<e1>=½kT;
;
поступательного
движения молекулы
,
где
k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура; i — число степеней
свободы молекулы;
вращательного движения молекулы

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры
p=nkT.
Скорость
молекул:
средняя квадратичная
,
или
;
средняя арифметическая
,
или
;
наиболее вероятная
,
или
,
где m1 — масса одной
молекулы.
Явления переноса
Среднее число соударений, испытываемых
одной молекулой газа в единицу времени,
,
где
d — эффективный диаметр молекулы; п — концентрация молекул; <υ> —
средняя арифметическая скорость молекул.
Средняя длина свободного
пробега молекул газа
.
Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного
слоя газа в другой через элемент поверхности,
,
где
h— динамическая вязкость газа;
—градиент
(поперечный) скорости течения его слоев; DS
— площадь элемента поверхности; dt — время переноса.
Динамическая
вязкость
h=
r<υ><l>
где
r — плотность газа (жидкости); <υ>
— средняя скорость хаотического движения его молекул; <l> — их средняя
длина свободного пробега.
Закон Ньютона
,
где
F — сила внутреннего трения между движущимися слоями газа.
Закон
Фурье
DQ= -l
SDt,
где
DQ — теплота, прошедшая посредством теплопроводности
через сечение площадью S за время Dt; l
— теплопроводность;
- градиент
температуры.
Теплопроводность .(коэффициент теплопроводности)
газа
l=
cvr<υ><l>
или l=
<υ><l>,
где cv — удельная теплоемкость
газа при постоянном объеме; r — плотность газа; <υ> — средняя
арифметическая скорость его молекулы; <l> — средняя длина свободного пробега
молекул.
Закон Фика
,
где
Dm — масса газа, перенесенная в результате
диффузии через поверхность площадью S за время Dt; D — диффузия (коэффициент Эффузии);
-градиент концентрации молекул; m1
—масса одной молекулы.
Диффузия (коэффициент диффузии)
D=
<υ><l>.
Статистические
распределения
Распределение Больцмана (распределение частиц в
силовом поле)
n=n0e-U/(kT),
где п — концентрация частиц; U — их
потенциальная энергия; n0 — концентрация частиц в точках поля, где U=0; k — постоянная
Больцмана; T — термодинамическая температура.
Барометрическая
формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести)
р=p0e-mgz/(kT),
или p=p0e-Mgz/(RT),
где р — давление газа; m — масса частицы; М — молярная
масса; z — координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой;
р0 — давление на этом уровне; g — ускорение свободного падения; R — молярная
газовая постоянная.
Вероятность того, что физическая величина
х, характеризующая молекулу, лежит в интервале значений от х до x+dx, определяется
по формуле
dW(x)=f(x)dx
где f(x)—функция распределения молекул по
значениям данной физической величины х (плотность вероятности).
Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена
в интервале значений от х до x+dx,
dN=NdW(x)=Nf(x)dx.
Распределение
Максвелла (распределение молекул по скоростям) выражается двумя соотношениями:
а)
число молекул, скорости которых заключены в пределах от J до J+dJ,
,
где
f(υ) —функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение
вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от υ до υ+dυ,
к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат
в указанном интервале; N — общее число молекул; m — масса молекулы;
б)
число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u+du,

где
u=υ/υв — относительная скорость, равная отношению скорости J
к наивероятнейшей скорости υв; f(u) — функция распределения по относительным
скоростям.
Распределение молекул по импульсам. Число молекул,
импульсы которых заключены в пределах от р до p+dp,
,
где
f(p) — функция распределения по импульсам.
Распределение молекул
по энергиям. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от e
до e+de,
,
где
f(e)—функция распределения по энергиям.
Среднее значение физической величины х в общем случае
,
а
в том случае, если функция распределения нормирована на единицу,
<x>=òxf(x)dx
где
f(x) — функция распределения, интегрирование ведется по всей совокупности изменений
величины х.
Например, среднее значение скорости молекулы (т. е. средняя
арифметическая скорость)
;
средняя
квадратичная скорость
<υкв>=<υ2>1/2,
где
;
средняя
кинетическая энергия поступательного движения молекулы
.
Тепловые
свойства
Молярная внутренняя энергия химически простых (состоящих из одинаковых
атомов) твердых тел в классической теории теплоемкости выражается формулой
Um
= 3RT,
где R — молярная газовая постоянная; Т — термодинамическая температура.
Теплоемкость
С системы (тела) при постоянном объеме определяется как производная от внутренней
энергии U по температуре, т. е.
C = dU/dT.
Закон Дюлонга и Пти.
Молярная теплоемкость Cm химически простых твердых тел
Cm = 3R
Закон
Неймана — Коппа. Молярная теплоемкость химически сложных тел (состоящих из различных
атомов)
Сm = n×ЗR,
где
п — общее число частиц в химической формуле соединения.
Среднее значение
энергии
квантового осциллятора, приходящейся на одну степень
свободы, в квантовой теории Эйнштейна выражается формулой

где
e0 — нулевая энергия (e0
= 1/2ħw); ħ — постоянная Планка;
w
— круговая частота колебаний осциллятора; k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая
температура.
Молярная внутренняя энергия кристалла в квантовой теории теплоемкости
Эйнштейна определяется по формуле

где
Umo = 3/2RqE — молярная нулевая энергия
по Эйнштейну;
qE = ħw/k — характеристическая температура Эйнштейна.
Молярная
теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна

При
низких температурах (T<<qE)
Сm = 3R(qE/T)exp(-qE/T).
Частотный спектр колебаний в квантовой
теории теплоемкости Дебая задается функцией распределения частот g(w).
Число dZ собственных частот тела, приходящихся на интервал частот от w до w
dw, определяется выражением
dZ
=g(w)dn
Для трехмерного кристалла содержащего
N атомов,
,
где
wmax — максимальная частота, ограничивающая
спектр колебаний.
Энергия U твердого тела связана с средней энергией
квантового осциллятора и функцией
распределения частот g(w) соотношением

Молярная
внутренняя энергия кристалла по Дебаю

где
-молярная нулевая энергия кристалла
по Дебаю;
-характеристическая температура Дебая.
Молярная
теплоёмкость, кристалла по Дебаю

Предельный
закон Дебая. В области низких температур (Т<<qВ) последняя формула принимает вид
.
Кристаллы.
Элементы кристаллографии
Пример
1. В баллоне вместимостью V=6,9 л
находится азот массой m=2,3 г. При нагревании часть молекул диссоциировали
на атомы. Коэффициент диссоциации a=0,2.
Определить: 1) общее число N1 молекул и концентрацию n1 молекул азота до нагревания;
2) концентрацию n2 молекул и n3 атомов азота после нагревания.
Пример 3.
Средняя длина свободного пробега
<l> молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить
среднюю арифметическую скорость <J>
молекул и число z соударений, которые испытывает молекула в 1 с.
Пример
6. Пылинки массой m=10-18 г взвешены
в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация
пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме
одинакова и равна 300 К.
Пример 9. Определить
количество теплоты DQ, необходимое для нагревания кристалла NaCI
массой m=20г на DТ=2К, в двух случаях,
если нагревание происходит от температуры: 1) T1=qВ;
2) Т2=2К. Характеристическую температуру Дебая qD
для NaCI принять равной 320 К.
Пример 12. Определить число п узлов, приходящихся
на одну элементарную ячейку в гранецентрированной
кубической решетке.