Статистическая физика
Молекулярно-кинетическая теория
Концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы
n=N/V,
где V — объем системы.
Основное уравнение кинетической теории газов
p=2/зn<eп>,
где р — давление газа; <eп>— средняя кинетическая энергия* поступательного движения молекулы.
Средняя кинетическая энергия:
приходящаяся на одну степень свободы молекулы
<e1>=½kT;
;
поступательного движения молекулы
,
где k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура; i — число степеней свободы молекулы;
вращательного движения молекулы
Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры
p=nkT.
Скорость молекул:
средняя квадратичная
, или
;
средняя арифметическая
, или
;
наиболее вероятная
, или
,
где m1 — масса одной молекулы.
Явления переноса
Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени,
,
где d — эффективный диаметр молекулы; п — концентрация молекул; <υ> — средняя арифметическая скорость молекул.
Средняя длина свободного пробега молекул газа
.
Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности,
,
где h— динамическая вязкость газа;
—градиент (поперечный) скорости течения его слоев; DS — площадь элемента поверхности; dt — время переноса.
Динамическая вязкость
h=
r<υ><l>
где r — плотность газа (жидкости); <υ> — средняя скорость хаотического движения его молекул; <l> — их средняя длина свободного пробега.
Закон Ньютона
,
где F — сила внутреннего трения между движущимися слоями газа.
Закон Фурье
DQ= -l
SDt,
где DQ — теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью S за время Dt; l — теплопроводность;
- градиент температуры.
Теплопроводность .(коэффициент теплопроводности) газа
l=
<υ><l>,
где cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; r — плотность газа; <υ> — средняя арифметическая скорость его молекулы; <l> — средняя длина свободного пробега молекул.
Закон Фика
,
где Dm — масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время Dt; D — диффузия (коэффициент Эффузии);
-градиент концентрации молекул; m1 —масса одной молекулы.
Диффузия (коэффициент диффузии)
D=
Статистические распределения
Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)
n=n0e-U/(kT),
где п — концентрация частиц; U — их потенциальная энергия; n0 — концентрация частиц в точках поля, где U=0; k — постоянная Больцмана; T — термодинамическая температура.
Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести)
р=p0e-mgz/(kT), или p=p0e-Mgz/(RT),
где р — давление газа; m — масса частицы; М — молярная масса; z — координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р0 — давление на этом уровне; g — ускорение свободного падения; R — молярная газовая постоянная.
Вероятность того, что физическая величина х, характеризующая молекулу, лежит в интервале значений от х до x+dx, определяется по формуле
dW(x)=f(x)dx
где f(x)—функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности).
Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до x+dx,
dN=NdW(x)=Nf(x)dx.
Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям) выражается двумя соотношениями:
а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от J до J+dJ,
,
где f(υ) —функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от υ до υ+dυ, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N — общее число молекул; m — масса молекулы;
б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u+du,
где u=υ/υв — относительная скорость, равная отношению скорости J к наивероятнейшей скорости υв; f(u) — функция распределения по относительным скоростям.
Распределение молекул по импульсам. Число молекул, импульсы которых заключены в пределах от р до p+dp,
,
где f(p) — функция распределения по импульсам.
Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от e до e+de,
,
где f(e)—функция распределения по энергиям.
Среднее значение физической величины х в общем случае
,
а в том случае, если функция распределения нормирована на единицу,
<x>=òxf(x)dx
где f(x) — функция распределения, интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины х.
Например, среднее значение скорости молекулы (т. е. средняя арифметическая скорость)
;
средняя квадратичная скорость
<υкв>=<υ2>1/2,
где
;
средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы
.
Тепловые свойства
Молярная внутренняя энергия химически простых (состоящих из одинаковых атомов) твердых тел в классической теории теплоемкости выражается формулой
Um = 3RT,
где R — молярная газовая постоянная; Т — термодинамическая температура.
Теплоемкость С системы (тела) при постоянном объеме определяется как производная от внутренней энергии U по температуре, т. е.
C = dU/dT.
Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость Cm химически простых твердых тел
Cm = 3R
Закон Неймана — Коппа. Молярная теплоемкость химически сложных тел (состоящих из различных атомов)
Сm = n×ЗR,
где п — общее число частиц в химической формуле соединения.
Среднее значение энергии
квантового осциллятора, приходящейся на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштейна выражается формулой
где e0 — нулевая энергия (e0 = 1/2ħw); ħ — постоянная Планка;
w — круговая частота колебаний осциллятора; k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура.
Молярная внутренняя энергия кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна определяется по формуле
где Umo = 3/2RqE — молярная нулевая энергия по Эйнштейну;
qE = ħw/k — характеристическая температура Эйнштейна.
Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна
При низких температурах (T<<qE)
Сm = 3R(qE/T)exp(-qE/T).
Частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемкости Дебая задается функцией распределения частот g(w). Число dZ собственных частот тела, приходящихся на интервал частот от w до w dw, определяется выражением
dZ =g(w)dn
Для трехмерного кристалла содержащего N атомов,
,
где wmax — максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний.
Энергия U твердого тела связана с средней энергией
Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю
где
-молярная нулевая энергия кристалла по Дебаю;
-характеристическая температура Дебая.
Молярная теплоёмкость, кристалла по Дебаю
Предельный закон Дебая. В области низких температур (Т<<qВ) последняя формула принимает вид
.
Кристаллы. Элементы кристаллографии
Пример 1. В баллоне вместимостью V=6,9 л находится азот массой m=2,3 г. При нагревании часть молекул диссоциировали на атомы. Коэффициент диссоциации a=0,2. Определить: 1) общее число N1 молекул и концентрацию n1 молекул азота до нагревания; 2) концентрацию n2 молекул и n3 атомов азота после нагревания.
Пример 3. Средняя длина свободного пробега <l> молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <J> молекул и число z соударений, которые испытывает молекула в 1 с.
Пример 6. Пылинки массой m=10-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме одинакова и равна 300 К.
Пример 9. Определить количество теплоты DQ, необходимое для нагревания кристалла NaCI массой m=20г на DТ=2К, в двух случаях, если нагревание происходит от температуры: 1) T1=qВ; 2) Т2=2К. Характеристическую температуру Дебая qD для NaCI принять равной 320 К.
Пример 12. Определить число п узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке.
