Пример 6. Пылинки массой m=10-18 г взвешены в воздухе. Определить
толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не
более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме одинакова и равна 300 К.
Решение.
При равновесном распределении пылинок концентрация их зависит только от координаты
z по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно
применить формулу Больцмана
n=n0e-U/(kT). (1)
Так как в однородном
поле силы тяжести U=mgz, то
n=n0e-mgz/(kT) (2)
По условию задачи,
изменение Dn концентрации с высотой мало
по сравнению с n (Dn/n=0,01), поэтому
без существенной погрешности изменение концентрации Dn можно заменить дифференциалом dn.
Дифференцируя
выражение (2) по z, получим
dп= —п0
e-mgz/(kT)dz.
Так как п0e-mgz/(kT)=n, то
dn=
-
ndz.
Отсюда находим интересующее
нас изменение координаты:
dz= - 
Знак
минус показывает, что положительным изменениям координаты (dz>0) соответствует
уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак минус опустим (в данном
случае он несуществен) и заменим дифференциалы dz и dn конечными приращениями
Dz и Dn:
Dz
=
.
Подставим в эту формулу значения величин
Dn/n=0,01, k=1,38×10-23 Дж/К, T=300 К, m= 10-21 кг, g=9,81 м/с2 и, произведя
вычисления, найдем
Dz=4,23 мм.
Как
видно из полученного результата, концентрация даже таких маленьких пылинок (m==
10-18 г) очень быстро изменяется с высотой.
Пример 7. В сосуде содержится
газ, количество вещества v которого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как
идеальный, определить число DN молекул, скорости υ которых меньше 0,001
наиболее вероятной скорости υв.
Решение. Для решения задачи удобно
воспользоваться распределением молекул по относительным скоростям u (u=υ/υв).
Число dN(u) молекул, относительные скорости и, которых заключены в пределах от
u до du, определяется формулой
,
(1)
где N — полное число молекул.
По условию задачи, максимальная
скорость интересующих нас молекул υmax=0,001υв, откуда umax=υmax/υв=0,001.
Для таких значений и выражение (1) можно существенно упростить. В самом деле,
для u«1 имеем е-2»1-u2. Пренебрегая значением u2=(0,001)2=10-6
по сравнению с единицей, выражение (1) запишем в виде
.
(2)
Интегрируя это выражение по и в пределах от 0 до umax, получим
,
или
. (3)
Выразив в (3)
число молекул N через количество вещества и постоянную Авогадро, найдем расчетную
формулу:
. (4)
Подставим
в (4) значения величин v, na и произведем вычисления:
.
Пример
8. Зная функцию f(р) распределения молекул по импульсам, определить среднее значение
квадрата импульса <p2>.
Решение. Среднее значение квадрата импульса
<p2> можно определить по общему правилу вычисления среднего:
.
(1)
Функция распределения молекул по импульсам имеет вид
(2)
Эта функция распределения уже нормирована на единицу, т. е.
.
С учетом нормировки формулу (1) перепишем иначе:
(3)
Подставим выражение f(p) по уравнению (2) в формулу (3) и вынесем
величины, не зависящие от р, за знак интеграла:

Этот
интеграл можно свести к табличному.
,
положив
.
В нашем случае
это даст

После
упрощений и сокращений найдем
<p2>=3mkT.