Пример 6. Пылинки массой m=10-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме одинакова и равна 300 К.
Решение. При равновесном распределении пылинок концентрация их зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно применить формулу Больцмана
n=n0e-U/(kT). (1)
Так как в однородном поле силы тяжести U=mgz, то
n=n0e-mgz/(kT) (2)
По условию задачи, изменение Dn концентрации с высотой мало по сравнению с n (Dn/n=0,01), поэтому без существенной погрешности изменение концентрации Dn можно заменить дифференциалом dn.
Дифференцируя выражение (2) по z, получим
dп= —п0
e-mgz/(kT)dz.
Так как п0e-mgz/(kT)=n, то
dn= -
Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:
dz= -
Знак минус показывает, что положительным изменениям координаты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим дифференциалы dz и dn конечными приращениями Dz и Dn:
Dz =
.
Подставим в эту формулу значения величин Dn/n=0,01, k=1,38×10-23 Дж/К, T=300 К, m= 10-21 кг, g=9,81 м/с2 и, произведя вычисления, найдем
Dz=4,23 мм.
Как видно из полученного результата, концентрация даже таких маленьких пылинок (m== 10-18 г) очень быстро изменяется с высотой.
Пример 7. В сосуде содержится газ, количество вещества v которого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число DN молекул, скорости υ которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости υв.
Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться распределением молекул по относительным скоростям u (u=υ/υв). Число dN(u) молекул, относительные скорости и, которых заключены в пределах от u до du, определяется формулой
, (1)
где N — полное число молекул.
По условию задачи, максимальная скорость интересующих нас молекул υmax=0,001υв, откуда umax=υmax/υв=0,001. Для таких значений и выражение (1) можно существенно упростить. В самом деле, для u«1 имеем е-2»1-u2. Пренебрегая значением u2=(0,001)2=10-6 по сравнению с единицей, выражение (1) запишем в виде
. (2)
Интегрируя это выражение по и в пределах от 0 до umax, получим
, или
. (3)
Выразив в (3) число молекул N через количество вещества и постоянную Авогадро, найдем расчетную формулу:
. (4)
Подставим в (4) значения величин v, na и произведем вычисления:
.
Пример 8. Зная функцию f(р) распределения молекул по импульсам, определить среднее значение квадрата импульса <p2>.
Решение. Среднее значение квадрата импульса <p2> можно определить по общему правилу вычисления среднего:
. (1)
Функция распределения молекул по импульсам имеет вид
(2)
Эта функция распределения уже нормирована на единицу, т. е.
.
С учетом нормировки формулу (1) перепишем иначе:
(3)
Подставим выражение f(p) по уравнению (2) в формулу (3) и вынесем величины, не зависящие от р, за знак интеграла:
Этот интеграл можно свести к табличному.
, положив
.
В нашем случае это даст
После упрощений и сокращений найдем
<p2>=3mkT.
