Примеры решения задач по электротехнике, физике

Пример 6. Пылинки массой m=10-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентра­ция пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме одинакова и равна 300 К.

Решение. При равновесном распределении пылинок кон­центрация их зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно при­менить формулу Больцмана

 n=n0e-U/(kT). (1) 

Так как в однородном поле силы тяжести U=mgz, то

n=n0e-mgz/(kT) (2)

По условию задачи, изменение Dn концентрации с высотой мало по сравнению с n (Dn/n=0,01), поэтому без существенной погреш­ности изменение концентрации Dn можно заменить дифференциа­лом dn.

Дифференцируя выражение (2) по z, получим

dп= —п0e-mgz/(kT)dz.

Так как п0e-mgz/(kT)=n, то

dn= -ndz.

Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:

dz= -

Знак минус показывает, что положительным изменениям координа­ты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим дифференциалы dz и dn конечными приращениями Dz и Dn:

Dz =.

Подставим в эту формулу значения величин Dn/n=0,01, k=1,38×10-23 Дж/К, T=300 К, m= 10-21 кг, g=9,81 м/с2 и, произведя вычисления, найдем

Dz=4,23 мм.

Как видно из полученного результата, концентрация даже таких маленьких пылинок (m== 10-18 г) очень быстро изменяется с высотой.

Пример 7. В сосуде содержится газ, количество вещества v которого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число DN молекул, скорости υ которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости υв.

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться рас­пределением молекул по относительным скоростям u (u=υ/υв). Число dN(u) молекул, относительные скорости и, которых заключены в пределах от u до du, определяется формулой

,  (1)

где N — полное число молекул.

По условию задачи, максимальная скорость интересующих нас молекул υmax=0,001υв, откуда umax=υmax/υв=0,001. Для таких значений и выражение (1) можно существенно упростить. В самом деле, для u«1 имеем е-2»1-u2. Пренебрегая значением u2=(0,001)2=10-6 по сравнению с единицей, выражение (1) запишем в виде

.  (2)

Интегрируя это выражение по и в пределах от 0 до umax, получим

, или . (3)

Выразив в (3) число молекул N через количество вещества и постоянную Авогадро, найдем расчетную формулу:

. (4)

Подставим в (4) значения величин v, na и произведем вычисле­ния:

.

Пример 8. Зная функцию f(р) распределения молекул по импуль­сам, определить среднее значение квадрата импульса <p2>.

Решение. Среднее значение квадрата импульса <p2> можно определить по общему правилу вычисления среднего:

.  (1)

Функция распределения молекул по импульсам имеет вид

  (2)

 Эта функция распределения уже нормирована на единицу, т. е.

.

  С учетом нормировки формулу (1) перепишем иначе:

  (3)

Подставим выражение f(p) по уравнению (2) в формулу (3) и выне­сем величины, не зависящие от р, за знак интеграла:

Этот интеграл можно свести к табличному.

, положив .

В нашем случае это даст

После упрощений и сокращений найдем

<p2>=3mkT.