Методика решения задач по физике http://pclas.ru/ Необходимый признак сходимости ряда

Решение логарифмических уравнений

 С помощью логарифмических свойств и алгебраических преобразований логарифмические уравнения сводятся к двум видам:

 1) . Из равенства логарифмов с одним и тем же основанием следует равенство , которое требует решения алгебраического уравнения. Для получения правильного решения логарифмического уравнения необходимо сделать проверку полученного решения алгебраического уравнения, так как необходимо, чтобы .

 2) . Замена переменной:  приводит к

 решению алгебраического уравнения . Получив решение

 * , переходят к решению уравнения 

 , то есть . Полученное

 решение проверяется условием .

Пример 64.  

 а) Преобразуем левую часть уравнения

 . (Использованы равенства:

 ).

 б) Приводим полученное выражение к общему знаменателю:

 или .

 Проверкой подтверждается только решение .

Пример 65.  

 а) Заменим

 б)

 в)

Решение логарифмических неравенств

 Решение логарифмического неравенства вида

зависит от основания логарифма . При >1 переходим к решению неравенства (знак неравенства - прежний), а при

знак неравенства меняется на противоположный: . Окончательное решение логарифмического неравенства находится с учетом его области определения, то есть выполнения условий

 Если основание логарифма является переменной величиной, то решение логарифмического неравенства выполняется в два этапа, когда полагается, что основание логарифма больше единицы, либо меньше единицы, но больше нуля.

 Пусть  Решение:

 

Пример 66. >0

 а) Данная задача, в сравнении с той, что была описана в общем виде выше, упрощается тем, что выражение под логарифмом представлено числом 0,4<1.В этом случае >0 выполняется  только тогда, когда логарифмическая функция убывает, то есть при условии

.

 б) Решаем систему неравенств: 

 

 Общее решение системы: (2;¥).

Пример 67. <0

 а) Необходимо решить систему неравенств:

 

 б) Решение неравенства (1):

 Неравенства (2) и (3) объединяем и решаем неравенство:

 

Последнее неравенство решаем мотодом интервалов и получаем решение:

 

Пример 68.  <1

 а) Система неравенств будет иметь вид:

 

 б) Решение неравенства (1):

 Решение неравенства (2):

 Решение неравенства (3): .

 Объединим полученные решения: