Область определения функции. Графики функции.

 Ограничения на область определения имеют следующие функциональные выражения:

 

Решение данных неравенств приводит к решению задачи о нахождении области определения.

Пример 69.

Решим систему неравенств, согласно общим рекомендациям.

.

Решение задачи:

 При построении графиков функций необходимо классифицировать функцию как линейную, дробно-линейную, степенную, показательную, логарифмическую тригонометрическую или обратно тригонометрическую. Графики простейших функций данного вида общеизвестны. Далее, необходимо учесть параллельный перенос осей координат, если функция  преобразуется к виду .

При параллельном переносе новое начало осей координат находится в точке О1 с координатами , а оси О1Х1 и О1Y1 параллельны осям

ОХ и ОY. График функции  расположен относительно точки  также, как располагался бы график (). Рекомендации к решению задач.

 Задача 70: .

  Начало координат О1(0;-1) является нулевой точкой новой системы координат Х1О1Y1 при параллельном переносе осей координат (О1Х1 и О1Y1 параллельны ОХ и ОY, соответственно). В новой системе координат строим гиперболу

, ветви которой расположены в первой и третьей четвертях системы Х1О1Y1; учитываем, что одна из ветвей проходит через точку:

 График функции  отличается от графика  тем, что все * , поэтому необходимо все отрицательные значения  заменить такими же положительными значениями *.

 Окончательный график  представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в первой и второй четвертях системы координат Х1О1Y1.

 Задача 71: .

  Начало координат О1(0;1). Строим график степенной функции  в системе координат Х1О1Y1 , симметричный относительно О1, так как функция  нечетна. График функции должен пройти через точку

 Задача 72: .

 Преобразуем выражение  к виду

Тогда  Строим график показательной функции  в системе координат Х1О1Y1 в последовательности: а) (аналог)- монотонно убывающая на всей числовой оси функция, имеющая точку пересечения с осью О1Y1 (); б) все значения

переносим в отрицательную область, сохраняя числовое значение ординаты, и получаем график функции. Построенный график должен пройти через точку

 Задача 73: .

 Преобразуем выражение  к виду . Тогда  Строим график логарифмической функции в системе координат Х1О1Y1(аналог). Область определения функции в системе координат Х1О1Y1: , и график функции проходит через точку Необходимо также учесть, что графику функции принадлежит точка

 Задача 74:  преобразуем к виду , так как . Необходимо построить график известной функции, и все отрицательные значения ординат точек графика заменить положительными значениями.

 §24. Задачи с параметрами.

 Задачи с параметрами относятся к сложным задачам и имеют разную направленность. Поэтому можно дать только одну, общую для всех задач, рекомендацию: необходимо хорошо знать теоретические основы темы, обозначенной в условиях задачи.

Пример 75. При каком значении «а» функция  возрастает на интервале (0;¥)? Указать наименьшее целое.

 а) Тема задачи: исследование функции с помощью ее

 производной. Возрастание функции определяется условием

 .

 б) . Необходимо решить неравенство

 при условии  Квадратное неравенство будет

 выполняться, если при условии  больший корень

 уравнения  равен нулю, то есть: