Математика примеры решения задач

Крупные аварии на АЭС http://avantagehall.ru/ Тройной интеграл в декартовых координатах

Упражнение 3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и начертить график.

Исследование функции и построение графика рекомендуется проводить по следующей схеме:

найти область определения функции D(y);

найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;

найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

найти асимптоты графика функции;

 построить график, используя результаты предыдущих исследований;

дополнительно найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке .

Решение:

Дана функция:

Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y): , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и график ее не имеет вертикальных асимптот.

Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки I рода х1 = -5, х2 = -1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:

x

-5

-1

+

0

-

0

+

&

max

(

min

&

Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем II производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

, т.е.

Итак, функция имеет одну критическую точку 2 рода . Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которой установим знак II производной:

x

-3

-

0

+

т.п.

Значение  является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки

Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты  воспользуемся формулами: .

Имеем .

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума А1(-5; 4), минимума А2(-1; -4), перегиба А3 (-3; 0) и точку пересечения графика с осью Оу А4 (0; ). С учетом результатов предыдущих исследований построим кривую.

Найдем наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке  . Для этого посчитаем значения функции на концах этого отрезка, в критических точках I рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:

 .

Очевидно, что .