Математика примеры решения задач

Кратные интегралы http://isdiz.ru/ Поверхности, ограничивающие деталь

Упражнение 4. Задан закон s(t) изменения пути движения материальной точки; нужно найти значения скорости и ускорения этой точки в момент времени t0.

Решение:

Пусть .

Известно, что значения скорости и ускорения материальной точки в некоторый момент времени являются соответственно значениями в этот момент I и II производных функции, задающей закон изменения пути движения точки.

У нас

(ед. ск.)

(ед. уск.)

Упражнение 5. Найти неопределенные интегралы

а) способом подстановки (методом замена переменной) , ;

б) применяя метод интегрирования по частям , .

Решение:

а) : применим подстановку . Тогда   и

: применим подстановку . Тогда ,

, откуда

б) : применим формулу интегрирования по частям .

Положим . Тогда .

Следовательно, .

: положим . Тогда .

Отсюда . Применяя в последнем интеграле подстановку , получаем , следовательно, .

Отсюда .

Упражнение 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную параболами.

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений: .

Решаем полученное квадратное уравнение:

.

Вычисление площади фигуры осуществляем по формуле , где - кривые, ограничивающие фигуру .

В нашем случае (кв. ед.)