Математика примеры решения задач

Упражнение 7. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения I порядка .

Решение:

Правая часть уравнения  обладает свойством . Поэтому заданное уравнение является однородным дифференциальным уравнением I порядка. Совершим замену , где - некоторая функция от аргумента х. Отсюда . Исходное уравнение приобретает вид .

Продолжаем преобразования: ; .

Производим разделение переменных: .

После интегрирования обеих частей уравнения получаем

;

.

Таким образом ; .

Потенцируя, находим  или ; .

Итак, общий интеграл исходного уравнения приобретает вид

, где С – произвольная постоянная.

Упражнение 8. Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами:

а)

б)

в)

Решение:

а) Для заданного дифференциального уравнения составим соответствующее характеристическое уравнение по принципу: . Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два вещественных разных корня .

Т.к. , то общее решение данных уравнений записывается в виде . В нашем случае , где - произвольные постоянные.

Отсюда , .

Используя начальные условия : , т.е. .

Из того что  следует , т.е. , .

Решая систему уравнений , получаем .

Теперь в наше общее решение  подставим найденные значения . Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, приобретает вид .

б) Для заданного дифференциального уравнения составим соответствующее характеристическое уравнение по принципу: . Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два равных вещественных корня .

Т.к. , то общее решение данных уравнений записывается в виде . В нашем случае , где - произвольные постоянные.

Отсюда , .

Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений для определения : . Решая систему, получаем .

Искомое частное решение имеет вид:

в) Для заданного дифференциального уравнения  составим соответствующее характеристическое уравнение . Решая это уравнение, убеждаем, что оно не имеет вещественных корней.

В этом случае общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в виде , где  - коэффициенты характеристического уравнения).

У нас  поэтому общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид .

 Отсюда .

Таким образом, для определения значений  исходя из начальных условий, получаем систему уравнений ,

решая которую имеем .

Итак, искомое частное решение приобретает вид

Упражнение 9. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения х1 и х2 , причем х1 < х2. Найти закон распределения величины Х, если известно, что математическое ожидание М (х) = 1,4, дисперсия D (х) = 0,24 и вероятность р1 того, что Х примет значение х1, равна 0,6.

Решение:

Так как сумма вероятностей всех возможных значений Х равна 1, то вероятность p2 того, что Х примет значение х2, равна p2 = 1 - p1 = 1 – 0,6 = 0,4.

Напишем закон распределения Х:

Х

х1

х2

p

0,6

0,4

Для отыскания х1 и х2 составим два уравнения.

Для составления первого уравнения воспользуемся тем, что математическое ожидание

M(x) определяется по формуле M(x) = х1 р1 + х2 р2 + … + хn рn

В нашем случае: M(x) = х1 р1 + х2 р2

Учитывая, что по условию M(x) = 1,4, можем записать первое уравнение:

0,6х1 + 0,4х2 = 1,4.

Учитывая, что по условию D(x) = 0,24, пользуясь формулой D (х) = M (X2) – [M(X)]2, напишем второе уравнение:

0,6 х12 + 0,4 х22 - 1,42 = 0,24, или

0,6 х12 + 0,4 х22 = 2,2.

Решив полученную систему уравнений, найдем два решения:

х1 = 1, х2 = 2 и х1 = 1,8, х2 = 0,8.

По условию, х1 < х2, поэтому задаче удовлетворяет лишь первое решение.

Окончательно получим искомый закон распределения: