Математика примеры решения задач

Типовой расчет по математике
Решение задач контрольной работы
Математика
Черчение
Архитектурно-строительные чертежи
Начертательная геометрия
Инженерная графика
Начертательная геометрия
История развития черчения
Геометрические построения
Проекционное изображение
Виды, сечения и разрезы на чертежах
Машиностроительные чертежи
Эскизы деталей
Сборочные чертежи
Строительные чертежи
Архитектурные чертежи
Чертежи строительных конструкций
Инженерные чертежи
Чертежи строительных генеральных планов
Графическое оформление чертежей
Составление рабочего чертежа детали
Туризм
Развитие туризма
Диснейленд
Софийский собор в Киеве
Исторические памятники и музеи Чехии
Архитектура санаторных зданий и сооружений
Организация туристических комплексов
пансионат «Дружба» в районе Ялты
гостиница «Интурист» в Ростове-на-Дону
достопримечательности стран Европы
Андреевская церковь
История искусства, дизайн
Курс лекций по истории искусства
Изобразительное искусство блокадного Ленинграда
История государства Российского
Ландшафтный дизайн
Как обустроить свой дом, сад
Архитектурные стили XVIII века
Архитектура
Французский стиль в русской архитектуре
Билеты по истории искусства
ИСТОРИЯ АРХИТЕКТУРЫ ЯПОНСКОГО ЖИЛИЩА
Архитектура России и Европы
Ландшафтный дизайн
Русский авангард
Примеры решения задач по электротехнике,
физике
Контрольная по физике
Электротехника
Магнитная индукция
Волновая оптика
Расчет выпрямителей
Расчет электротехнических устройств
Контрольная работа Электрические машины
Методические указания по выполнению контрольной работы
Практика по физике
Молекулярно-кинетическая теория
Электродинамика
Практическое занятие по физике
Лекции и конспекты по физике
Техническая механика
Физика Механические колебания
Атомная физика
Ядерные реакторы
Энергетика
Лабораторные работы по общему курсу физики
Энергетика
Ядерные реакторы
Термоядерный синтез
Энергетика
 

МНОГОУГОЛЬНИКИ

Снова рассмотрим геометрические фигуры, которые строятся с помощью линейки.

На клетчатой бумаге легко изобразить такие геометрические фигуры, как на рисунке 1.

Верхняя левая из них — это хорошо знакомый вам с детства квадрат. Остальные тоже известны — это прямоугольники.

Прямоугольники и квадраты выделяются из многих фигур плоскости своими свойствами. Но для того, чтобы говорить об этих свойствах, приходится употреблять новые слова и понятия.

Вопрос. Что вам известно о прямоугольниках и квадратах?

2.2.    Точки на плоскости будем обозначать заглавными латинскими буквами.

Выберем три различные точки А, В и С, например, так, как на рисунке 2. Соединим отрезками точки Л и В, В и С, Л и С. Точки Л, В и С будут вершинами треугольника.

Выберем четыре различные точки А, В, С, Z? на плоскости, например, как на рисунке 3. Соединим отрезками точки А и В, В и С, С и D, D и А Теперь точки А, В, С, Z? — вершины четырехугольника.

Вопрос. Что следует считать вершинами пятиугольника на рисунке 4?

2.3. Наряду с вершинами у прямоугольников и квадратов имеются стороны. Отрезки АВ, ВС, CD и DA — стороны прямоугольника, изображенного на рисунке 5.

Две вершины, соединенные стороной, называются соседними.

Две стороны, имеющие общую вершину, также называются соседними.

Для прямоугольника на рисунке 5 вершины Л и С не являются соседними, как и вершины В и В. Стороны АВ и CD также не являются соседними. Иногда их называют противоположными.

Прямоугольник на рисунке 5 можно обозначить, записав последовательно соседние вершины ABCDA. Иногда пишут или говорят короче — «прямоугольник АВСВ». Этот же прямоугольник можно обозначить как прямоугольник ВСВЛ, как прямоугольник ADCB или как прямоугольник С BAD.

Треугольник, четырехугольник, пятиугольник тоже задаются перечислением вершин. Изображенные на рисунках 6, 7 и 8 фигуры можно обозначать так: треугольник ABC, четырехугольник MKNL, пятиугольник PXZUD.

Взяв большее число вершин и записав их в порядке следования одна за другой, можно похожим образом обозначать десятиугольники, стоугольники и так далее. Получающиеся при этом фигуры, у которых любые несоседние стороны не пересекаются, носят общее название — многоугольники.

Многоугольник является границей некоторой области. Иногда многоугольником называют эту область вместе с ее границей. Примеры приведены в параграфе 1 (рисунки 3, 5 — 10).

Изображенная на рисунке 9 фигура MNKL не считается четырехугольником, потому что отрезки ML и NK пересекаются.

Вопрос. Чем отличаются соседние вершины многоугольника от несоседних?

2.4? Выберем три точки А, В, С и соединим их отрезками (рисунке 10). Тогда любая из записей: треугольник ABC, треугольник АСВ, треугольник ВАС, треугольник ВС А, треугольник САВ, треугольник СВ А — обозначает один и тот же треугольник.

Рассмотрим теперь четырехугольник на рисунке 11. Его можно обозначить через MKNL. Любая из записей: NLMK или N КМ L — приведет точно к такой же фигуре.

Может показаться, что безразлично, в каком порядке перечислять вершины четырехугольника. Но это не так. Если записать вершины в порядке М, L, К, N, то получится четырехугольник MLKN, изображенный на рисунке 12, а если в порядке М, К, L, iV, то придем к четырехугольнику MKLN на рисунке 13. Эти фигуры заметно отличаются друг от друга.

Рассмотренные примеры показывают, что нужно внимательно следить за порядком перечисления вершин многоугольника. Изменение этого порядка часто приводит к совершенно разным фигурам.

Вопрос. Какие фигуры могут получиться, если изменить порядок перечисления вершин прямоугольника?

2.5. Наверняка вам приходилось слышать про углы квадрата, углы комнаты и, может быть, другие углы.

Угол в многоугольнике связан с вершиной и двумя выходящими из нее сторонами.

Углы и величины углов будут изучаться чуть позже, а пока достаточно понять, что стороны многоугольника могут выходить из вершин по-разному. Иногда стороны заметно расходятся, иногда мало расходятся, как на рисунке 14.

[Ж]

Угол, изображенный на рисунке 15, выделяется своими особенностями. Его очень легко нарисовать на клетчатой бумаге. Это прямой угол. Такой угол можно увидеть, если посмотреть на здание, на книжку или тетрадку.

Вопрос. Что вы знаете об углах?

2.6.    Большое влияние на использование слов и понятий в математике оказывают традиции. В разное время одни и те же понятия назывались по-разному.

Некоторые из этих названий дошли до наших дней.

Например, ничто не мешает треугольник называть «трехвершинником», четырехугольник — «четырехвершинником», пятиугольник — «пятивершинником», и так далее.

Точно так же можно было назвать пятиугольник «пятисторонником» и привыкнуть к этому названию.

Вопрос. Какой четырехугольник можно было бы назвать «равноугольником»?

2.7.    Появившиеся слова-понятия позволяют на основе наших наблюдений описать некоторые свойства квадратов и прямоугольников.

Каждый из них имеет четыре угла, четыре вершины и четыре стороны. Все углы у них прямые. У квадрата все стороны одинаковы. Стороны прямоугольника одинаковы, если они противоположные.

Вопрос. Чем отличается квадрат от прямоугольника?

Контрольные вопросы

1.    Что такое вершины треугольника, четырехугольника, пятиугольника?

2.    Что такое стороны треугольника, четырехугольника, пятиугольника?

3.    Сколько сторон имеет шестиугольник?

4? Сколько сторон имеет стоугольник?

5.    Укажите все пары соседних вершин прямоугольника ABCD.

6.    Какие стороны многоугольника называются соседними?

7.    Укажите все пары противоположных сторон квадрата ABCD.

8.    Какие способы обозначения треугольника, четырехугольника и пятиугольника вы знаете?

9.    Какие четырехугольники имеют четыре прямых угла?

10? Можно ли произвольно менять порядок перечисления вершин многоугольника?

Задачи и упражнения

2.    Приведите по два различных обозначения для каждого из многоугольников на рисунках 16, 17, 18 и 19.

3.    Изобразите многоугольник с десятью сторонами.

4.    Найдите число сторон и число вершин многоугольника, изображенного: а) на рисунке 17; б) на рисунке 18; в) на рисунке 19; г) на рисунке 20.

5.    На рисунке 21 с помощью линейки найдите точку внутри прямоугольника ABCD, которая лежит на от-

резке, соединяющем противоположные вершины Л и С, и на отрезке, соединяющем противоположные вершины В и D.

6.    Квадрат ABCD сложен из четырех одинаковых малых квадратов, как на рисунке 22. Пусть О — общая вершина малых квадратов. Поместите острие циркуля в точку О, выберите раствор, равный ОА, и проведите окружность. Убедитесь, что она пройдет через вершины А, В, <7, D большего квадрата.

т

в

7.    Разместите на плоскости 4 точки А,

с

В, С и D так, чтобы, соединив их, можно было получить четырехугольник ABCD. Как можно соединить некоторые из них четырьмя отрезками, чтобы не получился четырехугольник?

8?* Разместите на плоскости 5 точек А,

В, С D и Е так, чтобы, соединив их, можно было получить пятиугольник ABCDE. Переставьте в этой записи вторую и четвертую буквы. Изобразите фигуру, соответствующую полученной записи. Приведите пример, когда фигура ADCBE будет многоугольником.

9. На рисунке 23 изображен треугольник, имеющий одинаковые стороны. Вырежьте из бумаги 4 таких треугольника. Какие многоугольники можно из них сложить, совмещая некоторые вершины этих треугольников?

Вырежьте из бумаги 4 таких прямоугольника, как на рисунке 24. Какие многоугольники можно сложить из них, совмещая некоторые вершины различных прямоугольников?

Вырежьте из бумаги 4 таких ромба, как на рисунке 25. Какие многоугольники можно сложить из них, совмещая некоторые вершины различных ромбов?