Практическое занятие по физике

Практическое занятие № 8

Тема: Уравнение Шредингера. Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний.

Цель занятия: Ознакомить студентов с основами квантовой механики.

Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.

Порядок проведения занятия:

повторить аксиомы нерелятивистской квантовой механики;

рассмотреть конкретный пример поведения частицы в потенциальной яме;

решить самостоятельно предложенные задачи.

Основные теоретические положения.

1) Уравнение Шредингера в общем виде:

, где , , m – масса частицы,

- оператор потенциальной энергии, y - волновая функция.

2) Стационарное уравнение Шредингера: для одномерного пространства

 

3) Условие нормировки:

 

4) Используемые обозначения:

- оператор Набла.

- оператор Лапласа.

, где - оператор полной энергии – гамильтониан.

Свойства волновой функции и смысл |y|2.

Типовые задачи

Найти волновую функцию частицы, находящейся в одномерном потенциальном ящике (яме) с бесконечно высокими стенками. Проанализировать полученные результаты.

  Рис. 8.1

Уравнение Шредингера для I II и III областей имеет вид:

в I области  

во II области

в III области

Очевидно, что решения в I и III областей получить стационарным образом невозможно из-за бесконечности.

Однако, используя определение потенциальности на границах (в точках х = 0 и х = а), получаем, что выходу частицы из области II препятствуют бесконечно большие силы, значит можно из физических соображений считать, что

В самом деле:

.

Решение во II области имеет вид:

, где

Используя условие непрерывности волновой функции в точке x = 0, получаем

Выбираем a равным 0.

В точке х = а имеем

, т.е. wa = p, 2p, 3p…n p, где n¹ 0, т.к. при w = 0

y = 0 .

Из этого условия получается, что решения возможны только при условии дискретности энергии.

 

, т.е. .

Остается найти А. Для этого, используем условие нормировки:

Окончательно:  (остается неопределенным множитель eip !).

Спектр энергии имеет вид:

  Рис. 8.2

En=E1×n2, т.е. разность энергий DЕ растет с n, однако дискретность проявляется с ростом n слабее т.к. важно не DE, а .

Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии (n = 1). Какова вероятность нахождения частицы: 1) в средней трети ящика. 2) в крайней трети ящика?

Задачи для самостоятельного решения.

Написать уравнение Шредингера для электрона, находящегося в водородоподобном атоме.

Написать уравнение Шредингера для линейного гармонического осцилятора.

Найти решение уравнения  

Доказать, что в случае  вероятность зависит только от координаты.

Представить графики |y|2 в случаях n = 1, n = 2, n = 3.

Вопросы по теории:

В чем проявляется принцип причинности в уравнении Шредингера?

Может ли |y|2 быть больше 1?

Чем отличается лапласовский детерминизм от квантового?

Сформулируйте аксиомы квантовой теории.

Что такое собственные значения и собственные функции оператора.

Как формулируется принцип соответствия?

Атомное ядро. Закон радиоактивного распада