Лекции и конспекты по физике

Электродинамика
Электрический заряд
Электрическое поле в вакууме
Работа электрических сил
Потенциал электростатического поля
Графическое изображение электростатического поля
Практическое занятие по физике
Тепловое излучение
Специальная теория относительности

Законы фотоэффекта

Теория атома водорода по Бору
Волновые свойства микрочастиц
Контрольная работа № 1
Уравнение Шредингера
Квантовая модель атома водорода
Многоэлектронные атомы. Принцип Паули

Квантовая теория свободных электронов в металле

Нерелятивистская квантовая механика
Атомное ядро. Закон радиоактивного распада.
Изучить экзоэнергетические реакции деления и синтеза.
Лекции и конспекты по физике

Векторы электромагнитного поля

Закон электромагнитной индукции
Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Векторные операции в различных системах координат
Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
Граничные условия на поверхности раздела двух диэлектриков.
Поле внутри проводящего тела в условиях электростатики
Плоскопараллельное поле
Ёмкость
Поле и ёмкость параллельных несоосных цилиндров
Формулы Максвелла
Ротор (вихрь)
Электрическое поле в проводящей среде
Магнитное поле постоянных токов
Расчет магнитных экранов
Энергия магнитного поля
Переменное электромагнитное поле в неподвижной среде
Плоская волна в проводящей среде
Теорема Умова-Пойнтинга
Поверхностный эффект
Атомная физика
Атомные ядра

РАДИОАКТИВНОСТЬ

ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
 

Силовые линии и эквипотенциальные поверхности.

Силовые линии электростатического поля в каждой точке указывают направление вектора  своей касательной. Т. о., векторный дифференциал длины силовой линии:

параллелен вектору

и компоненты обоих векторов пропорциональны

Эти пропорции равносильны двум дифференциальным уравнениям:

,

описывающим силовые линии.

Выясним, каким свойством обладают поверхности, к которым силовые линии перпендикулярны.

Если векторный элемент длины лежит на поверхности S, то он перпендикулярен вектору   (рис. 1.11):

Но уже известно, что скалярное произведение  представляет собой полный дифференциал функции , поэтому можно написать: dφ=0.

Подпись:             Рис. 1.11Это означает, что на поверхности S потенциал не изменяется. S – есть поверхность постоянного потенциала или эквипотенциальная поверхность. Следы поверхностей равного потенциала в плоскости чертежа называют линиями равного потенциала.

 Итак, найдено, что силовые линии электростатического поля везде пересекают эквипотенциальные поверхности под прямым углом.

13. Определение потенциала по известному распределению зарядов.

1. Потенциал точечного заряда.

Поле точечного заряда легко определяется путем непосредственного применения теоремы Гаусса.

 или .

Подпись: Рис. 1.12Поток вектора , выходящий через сферическую поверхность, в центре которой находится заряд, должен во всех точках этой поверхности иметь одинаковую плотность в силу центральной симметрии системы (рис. 1.12). Отсюда вытекает, что вектор  нормален к сферической поверхности и во всех ее точках постоянен по величине.

.

Определим потенциал точечного заряда.

.

В силу сферической симметрии

;

.

Для системы точечных зарядов:

;

М – точка наблюдения;

К – точка, в которой располагается заряд.

2. Потенциал от объемного распределения зарядов.

Рис. 1.13

 
Разделив все распределенные в пространстве заряды на элементарные части dq (рис. 1.13), будем рассматривать эти элементы dq как точечные заряды. Потенциал в точке М, определяемый каждым таким элементом, равен

.

Следовательно, потенциал, определяемый всей совокупностью распределенных в пространстве зарядов, может быть найден из формулы:

.

Если электрический заряд распределен по объему V с объемной плотностью ρ (в некоторой точке пространства), то следует разбить весь объем на элементы dV. Тогда:

.

3. Потенциал от поверхностного распределения зарядов.

 Если заряд распределен лишь в весьма тонких слоях у поверхности заряженных тел, то можно считать, что заряд распределен на поверхности тел. Разбивая заряженные поверхности на элементы dS, можем написать dq=σdS,

где σ – поверхностная плотность заряда. Тогда выражение потенциала принимает вид:

,

причем потенциал должен быть распространен по всем заряженным поверхностям.

4. Потенциал от линейного распределения заряда.

Рассмотрим заряженную нить. Ее поле легко найти путем непосредственного применения теоремы Гаусса. Из изображений симметрии следует, что электрические силовые линии – это равномерно идущие радиальные прямые. Окружив нить симметрично расположенным цилиндром радиуса RМ и длиной l (рис. 1.14), найдем вектора напряженности  через ее поверхность.

,

где q – заряд участка длиной l.

Отсюда

,

где  – линейная плотность заряда.

Потенциал

 

 Рис. 1.14

При рассмотрении линейного проводника мы не можем принять φ=0 в бесконечности. Необходимо принимать в конкретной точке.

.

14. Уравнения Пуассона и Лапласа.

Теорема Гаусса в дифференциальной форме имеет вид:

Заменяя , получаем

Выражение  в декартовой системе координат:

Произведение  можно записать так:

Т. е.  – т. е. скалярное умножение оператора  (Набла) означает взятие дивергенции от этой векторной функции.

Известно, что , получим .

(1.14)

– уравнение Пуассона.

  – оператор Лапласа или Лапласиан.

Частный вид уравнения (1.14) при

  – уравнение Лапласа.

Решением уравнения Пуассона является интеграл, полученный выше:

– когда заряды распределены в конечной области пространства.

В декартовой системе координат уравнение Пуассона имеет вид:

В цилиндрической системе координат:

В сферической системе координат:

.

Итак, уравнение Пуассона дает связь между частными производными второго порядка от φ в любой точке поля и объемной плотностью свободных зарядов в этой точке поля . Потенциал в этой точке поля зависит от всех видов заряда, создающих поле, а не только от величины свободных зарядов. В общем случае:

.

Решение уравнений Пуассона и Лапласа – множество решений со своими постоянными интегрирования. На основании теоремы единственности решений справедливым будет такое, которое удовлетворяет:

этим уравнениям;

граничным условиям.

Уравнение Пуассона применяют при исследовании потенциальных полей (электрических и магнитных) с 1820 г.

Уравнение Лапласа (1780 г.) первоначально было применено для описания потенциальных полей небесной механики и впоследствии было использовано для описания электрических полей.

Вопросы:

Напишите уравнения электростатического поля и объясните их физический смысл.

Сформулируйте закон Кулона для точечных тел и напишите его математическое выражение.

Объясните физический смысл напряженности электрического поля.

Что такое электрический потенциал?

Что такое равномерное и неравномерное электрические поля?

Что называется потоком вектора напряженности электрического поля?

Сформулируйте теорему Гаусса.

В чем заключается физический смысл электрической индукции.

Какими характерными свойствами должны отличаться задачи, которые можно решить на основе уравнений электромагнитного поля, записанных в интегральной форме?

Зависит ли входящий в правую часть уравнения  магнитный поток от электрического тока, индуцируемого этим потоком.

Почему потенциал связывают с напряженностью поля соотношением E = - grad φ, а не соотношением E = grad φ ?

Какой должна быть форма проводящего тела, обеспечивающего условие постоянства потенциала в объеме V?

Удовлетворяет ли уравнениям Лапласа и Пуассона потенциал электростатического поля в а) неоднородной среде, б) однородной среде?

Атомное ядро. Закон радиоактивного распада