Лекции и конспекты по физике

Лекция №7

Полная система уравнений электромагнитного поля. Переменное электромагнитное поле в диэлектрике. Плоская электромагнитная волна в диэлектрике.

1. Переменное электромагнитное поле в неподвижной среде

Под переменным электромагнитным полем понимают совокупность изменяющихся во времени и взаимно связанных друг с другом электрического и магнитного полей.

Переменное электромагнитное поле является одним из видов материи. Оно обладает энергией, массой и количеством движения и может превращаться в другие виды материи. Электромагнитные волны в вакууме распространяются со скоростью .

Полная система уравнений для исследования процессов в электромагнитном поле:

1.

  — плотность тока проводимости

  — плотность тока смещения, то есть движущиеся заряды и изменяющееся электромагнитное поле вызывают появление магнитного поля.

2.  

— всякое изменение магнитного поля во времени в какой-либо точке поля возбуждает вихрь или ротор электрического поля в этой точке, то есть вызывает вихревое электрическое поле.

3. Истоки магнитного поля:

4. Истоки магнитного поля:

5. Соотношения между векторами поля и параметрами среды:

;

;

.

2. Переменное электромагнитное поле в проводящей среде.

Проводящая среда предполагается однородной и изотропной. Уравнения Максвелла для проводящей среды в комплексной форме записи.

(4.14)

(4.15)

Уравнения записаны для мгновенных значении. Если  и  во времени изменяются по синусоидальному закону, то можно воспользоваться символическим методом для их записи. И будем обозначать:

— комплекс действующего значения синусоидального изменяющегося вектора напряженности (проекция вектора на любую ось изменяется по синусоидальному закону).

Очевидно, что однократное дифференцирование вектора по времени приводит к умножению его комплексной амплитуды или комплекса действующего значения на , а двукратное умножение на .

Итак, уравнения Максвелла в комплексной форме с учетом :

(4.14):

(4.16)

(4.15):

(4.17)

Рассмотрим особенности распространения электромагнитной волны в проводящей среде с проводимостью и магнитной проницаемостью .

 В проводящей среде даже при весьма высоких частотах . В настоящее время наука не располагает точными данными о числовом значении относительной магнитной проницаемости  для металлов. Имеются лишь сведения, что порядок  для металлов такой же, как и для большинства диэлектриков, то есть от нескольких единиц до нескольких десятков.

Например, для меди . Найдем, во сколько раз ток проводимости  будет больше тока смешения  при :

,

то есть даже на очень высоких частотах ток проводимости гораздо больше тока смещения.

Поэтому:

(4.16): 

(4.18)

Уравнения  (4.17) и (4.18) представляют собой уравнения с 2-мя неизвестными:   и . Проведем их совместное решение. С этой целью возьмем ротор от уравнения (4.18):

Учтем, что , поэтому .

С учетом (4.17): ,

(4.19)

уравнение (4.19) является дифференциальным относительно . В самом общем случае, когда  зависит от 3х или даже от 2х координат, решение (4.19) – сложно. Поэтому ограничимся рассмотрением решения (4.19) для частного случая — для плоской и для цилиндрической электромагнитной волны.

3. Плоская электромагнитная волна

Под плоской электромагнитной волной понимают такую волну, для которой характерно, что во всех точках плоскости , перпендикулярной направлению распространения волны (ось  и  одинаковы по величине и по направлению и лежат в плоскости , то есть

  и ;

  и .

Рис. 4.7

 
 


В плоской волне  и  являются формулами только одной координаты — .

В нашем случае:

, где  — единичный орт.

Подставим  в (4.19) и раскроем :

.

Учитывая что:  и , будем иметь:

(4.20)

 В уравнении (4.20) вместо частных производных записана простая производная (так как  — одной переменной). (4.20) — представляет собой линейное дифференциальное уравнение 2го порядка. Его решение записывается следующим образом:

,

(4.21)

где   и  — Постоянные интегрирования. Это комплексы, которые определяют из граничных условий. Для каждой конкретной задачи свои постоянные.

Характеристическое уравнение:

Так как , то  можно представить и так:

, где .

Напряженность электрического поля найдем с помощью уравнений (4.18) и (4.21).

Из (4.18) следует, что

Следовательно:

(4.22)

(4.21): 

(4.23)

Выражение (4.22) показывает,  в плоской волне направлена по оси Х (присутствие единичного орта ).. Таким образом, между   и  есть пространственный сдвиг в 90º ( — по Х;  — по Y).

Частное от деления  на  принято называть волновым сопротивлением.

  и зависит от свойств среды и угловой частоты .

,

Составляющие падающей волны дают вектор Пойнтинга . Он направлен вдоль положительного направления оси Z. Следовательно, движение энергии с падающей волной происходит вдоль положительного направления оси Z.

Составляющие отраженной волны дают вектор Пойнтинга,  он направлен вдоль отрицательного направления оси Z. Это значит, что отраженная волна несет с собой энергию вдоль отрицательного направления оси Z. Можно сказать, что

.

Так как  — число комплексное и , то есть сдвиг во времени между  и  для одной и той же точки поля равен 45º.

 


Рис. 4.8

Атомное ядро. Закон радиоактивного распада