Лекции и конспекты по физике

Лекция 8

Отражение и преломление волн на границе раздела сред. Вектор Пойнтинга. Теорема Умова - Пойнтинга. Передача энергии постоянного тока по коаксиальному кабелю от генератора к приемнику.

1. Теорема Умова-Пойнтинга

В 1847 г. Русский ученый Николай Алексеевич Умов (1846 – 1915) защитил в Московском университете докторскую диссертацию на тему: “О движении энергии в упругих средах” Идеи Н.А. Умова оказали серьезнейшее влияние на дальнейшее развитии представлений об энергии. Десять лет спустя эти идеи развил английский физик Пойнтинг в применении к электромагнитному полю. Они и составляют содержание теоремы Умова-Пойнтинга (Теорема описывает энергетические соотношения в поле).

Рассмотрим некоторую электромагнитную установку, состоящую из произвольного числа приемников энергии. В электромагнитном поле этой установки, описываемой системой уравнений Максвелла, возьмем замкнутую поверхность, ограничивающую объем . Внутри этого объема могут оказаться источники и приемники энергии в любых сочетаниях, так что мгновенная мощность, потребляемая внутри рассматриваемого объема, может в общем случае не равняться мгновенной мощности, отдаваемой отдельными элементами этого же объема. И в балансе мощности должна быть учтена соответствующая избыточная мощность, которая отдается из объема во внешнее пространство или получает оттуда.

Чтобы составить выражение для полной энергии во взятом объеме, обратимся к первому и второму уравнениям Максвелла, заменив в них:  и :

(4.26)

скалярно и вычтем из (4.26)  (4.27)

(4.27)

(4.28)

Левая часть этого уравнения:

(4.29)

Правая часть:

(4.30)

(4.31)

Подставим (4.29), (4.30), (4.31)  (4.28):

(4.32)

Умножим все члены уравнения на  и проинтегрируем их по объему .

Первый интеграл по теореме Остроградского – Гаусса:

Обозначим для сокращения записи векторное произведение  на  через , то есть — вектор Пойнтинга.

Размерность:

.

Таким образом вектор Пойнтинга имеет размерность мощности (или энергии в единицу времени), отнесенной к единице поверхности и направление его совпадает с направлением движения острия правоходового винта, если головку последнего вращать по кратчайшему направлению от  к .

 


 


Рис. 4.10

Таким образом:

(4.33)

2. Теорема Умова – Пойнтинга для мгновенных значений.

  — поток вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность , ограничивающую объем

  — энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единицу времени вобъеме (в соответствии с уравнением Джоуля - Ленца в дифференциальной форме  — есть энергия в виде тепла в единице объема)

  — скорость изменения электромагнитной энергии в том же объеме.

Теорему Умова-Пойнтинга следует трактовать как уравнение энергетического баланса; левая часть (4.33) — мощность или энергия в единицу времени, доставляемая в виде потока вектора Пойнтинга внутрь некоторого объема; правая часть — энергия, расходуемая в единицу времени внутри объема.

Теорема Умова-Пойнтинга позволяет сделать вывод, что электромагнитная энергия от места ее генерирования передается к месту потребления по диэлектрику, окружающему провода. А провода играют роль направляющих для энергии, но и сами являются потребителями энергии, поступающей в проводник извне и превращающейся в тепло.

Теорема Умова-Пойнтинга в комплексной форме записи

Полная мощность в цепи переменного тока:

Если цепь  содержит последовательное соединение , , , то

Здесь , ,  — напряжение на конденсаторе

Таким образом, реактивная мощность равна разности меду магнитной и электрической  энергиями цепи, умноженной на .

Подобно тому, как в цепи  для вычисления полной мощности  надо умножить комплекс напряжения  на сопряженный комплекс тока , вводится в употребление комплексный вектор Пойнтинга:

Вместо  теперь будет:

I и II уравнения Максвелла в комплексной форме записи:

Следовательно:

  и

Поэтому:

Первое слагаемое правой части представляет собой активную мощность, второе – реактивную мощность. Таким образом, теорема Умова-Пойнтинга может быть записана следующим образом:

В таком виде ее часто используют для определения активного и внутреннего реактивного сопротивлений на переменном токе.

Атомное ядро. Закон радиоактивного распада