Потенциал электростатического поля
Используя потенциальность
электростатического поля, введём определение разности потенциалов: разность потенциалов
между двумя точками электростатического поля равна взятой
с обратным знаком работе, совершаемой полем при перемещении единичного положительного
заряда из первой точки во вторую: 
. Если эти точки находятся на бесконечно близком
расстоянии 
, то, 
, а разность потенциалов между точками
1 и 2 на конечном расстоянии 
или 
Потенциал точки 2 определён неоднозначно, так как
работа измеряет только разность потенциалов, а не абсолютные величины каждого
потенциала. Выберем точку 1 так, чтобы её потенциал был равен нулю - для этого
в качестве такой точки возьмём бесконечно удалённую точку 
, тогда 
. Таким образом, потенциал произвольной точки поля равен
работе,
совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из данной
точки поля в бесконечность. При этих условиях потенциал 
точечного заряда 
равен 
, где 
- расстояние от заряда до рассматриваемой точки поля. Потенциал
поля произвольной системы точечных зарядов равен сумме потенциалов полей каждого
из этих зарядов в отдельности: 
, где 
- расстояние точки поля с потенциалом от заряда 
. В случае поверхностных зарядов потенциал
,
а в случае объемных зарядов потенциал 
, где 
и 
- соответственно плотность поверхностных и объёмных зарядов,
- расстояние точки поля, обладающей
потенциалом , от элемента поверхности 
и объёма 
соответственно.
Формулы для потенциалов поверхностных
и объёмных зарядов получены с использованием формулы для потенциала точечных зарядов.
Так, в случае поверхностных зарядов заряд каждой поверхности может быть разложен
на совокупность элементарных зарядов бесконечно малых элементов поверхности 
. Тогда, заменяя в формуле для потенциала
точечных зарядов через 
,
и переходя к интегрированию, получим формулу для потенциала поверхностных зарядов.
Аналогично выводится и формула для потенциала объёмных зарядов (в этом случае
роль элементарных зарядов играют заряды 
).
2.3.1.3. Связь вектора 
и потенциала
Из формул 
следует, что 
. Это частный случай связи и . В математической теории поля показано, что в общем случае
связь между и
определена как 
(см. Гидромеханику) или
Мы
знаем, что с математическими выражениями можно проводить различные математические
операции, приводящие к новым выражениям, формулам, соотношениям, с помощью которых
можно углублять знания, получать новые методы расчётов или возможность экспериментального
подтверждения. С этой целью подвергнем формулу связи
и математическим операциям, а
именно: возьмём дивергенцию от обеих частей формулы: 
. Левая часть формулы 
(см. ранее). Выражение для правой части находим
в справочнике:
.
Таким
образом, в результате формального применения математических операций к выражению
получаем дифференциальное уравнение 
- оно носит название уравнение Пуассона.
В тех областях, где 
, уравнение имеет вид 
и носит название уравнение Лапласа. Использование этих
уравнений позволяет расширить класс задач, решаемых в электростатике, однако при
этом используются сложные математические операции и специальные приёмы, выходящие
за рамки курса общей физики. В рамках курса общей физики эти уравнения используются
в самых простых случаях, имеющих демонстрационный характер (см. далее).