Техническая механика Методика решения задач

Механические колебания

примеры решения задач

Задача 1. Математический маятник длиной l1=40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l2=60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние a центра масс стержня от оси колебаний.

При синхронном колебательном движении маятников их периоды равны ,

где  .

Отсюда

  (1)

Момент инерции физического маятника определяется по теореме Штейнера:

  (2)

Подставив (2) в (1), получим квадратное уравнение

  (3)

Из (3) найдем два корня: a1=10 см, a2=30 см.

Таким образом, при одном и том же периоде колебаний физического маятника возможны два варианта расположения оси.

Величину (1) называют приведенной длиной физического маятника.

Ответ: a1=10 см, a2=30 см.

Задача 2. Найти уравнение, связывающее модуль импульса Px и координату x одномерного гармонического осциллятора. Масса осциллятора m1, циклическая частота w0, амплитуда колебаний A.

Запишем уравнение гармонических колебаний

  (1)

Тогда

 (2)

Выразим из (1)  а из (2) ,

  (3)

 (4)

Возведем (3) и (4) в квадрат и сложим. Учитывая, что

 получим

  - уравнение эллипса.

Ответ: .

Задача 3. Математический маятник совершает малые колебания в среде, в которой коэффициент затухания . Определить время  по истечении которого амплитуда маятника уменьшится в пять раз.

Вследствие трения колебания маятника будут затухающими:

где j - угол отклонения нити маятника от вертикали в момент времени t, при t=0, j=0.

Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем по экспоненциальному закону

.  (1)

Запишем (1) для моментов времени t и t+t:

, .

Отношение амплитуд

.  (2)

Логарифмируя (2), найдем

.

Ответ: t=1,79 с.